Математическая статистика
Оглавление Глава 1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. 2 § 1. Теория вероятностей. 2 § 2. Математическая статистика. 6 Распределения, связанные с нормальным законом распределения и используемые в математической статистике. 9 Статистические оценки. 12 Глава 2. Имитационное моделирование. 15 § 1. Основные понятия. 15 § 2. Моделирование случайных величин методом Монте-Карло. 16 Метод Монте-Карло. Оценка погрешности. 16 Моделирование дискретных случайных величин. 17 Моделирование непрерывных случайных величин. 20 Вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло. 21 Глава 3. Элементы корреляционного и регрессионного анализа. 24 §1. Элементы корреляционного анализа. 24 §2. Элементы регрессионного анализа. 28 §3. Решение задач регрессионного анализа с использованием пакета MatLab. 38 Глава 4. Временные ряды.. 42 §1. Основные понятия и задачи временных рядов. 42 §2. Прогнозирование. Экспоненциальное сглаживание. 52 Глава 1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики Теория вероятностей
Введем математическое определение вероятности, используя аксиоматический подход А.Н. Колмогорова (1903 – 1987).
Определение: Вероятность – это счетно-аддитивная нормированная мера. Здесь счетная аддитивность обозначает выполнение соотношения: , если Ø, .Нормировка меры заключается в том, что ее значения (вероятность) принимает значения из .Мера – вещественная неотрицательная функция счетной алгебры множеств. Пусть – множество элементов , которые называют элементарными событиями,а F –множество подмножеств из . Элементы множества F называют случайными событиями, а – пространством элементарных событий. Алгебра F подмножеств множества называется борелевской алгеброй, если все счетные суммы множеств также принадлежат F. Борелевские алгебры называют также . Вероятностная тройка называется борелевским полем вероятностей, если соответствующая алгебра F, является борелевской. В теории вероятностей ограничиваются только борелевскими полями вероятностей.
Основной задачей теории вероятностей является нахождение вероятностей сложных событий по известным вероятностям простых событий.
В основе построения практически всех вероятностных схем теории вероятностей лежит схема испытаний Бернулли и ее обобщения.
Схема испытаний Бернулли: Пусть проводится испытание, результатом которого могут быть два исхода – событие A («успех») и событие («неудача»). При этом считаем, что .
Вероятностная модель схемы испытаний Бернулли: Рассмотрим вероятностную тройку , где , ,
Пример: Бросание симметричной монеты (n=1) Два исхода – «орел» (успех), «решка» (неудача), два события с вероятностями .
Пример: Последовательность независимых испытаний (n=2). Бросаем симметричную монету независимо два раза. Четыре исхода (события) – «орел» «орел», «орел» «решка», «решка» «орел», «решка»«решка». Обозначим эти события соответственно через A, B, C, D. Тогда . , где . , , .
Пример: Бросание двух игральных костей. Найти вероятности события, что: 1. сумма выпавших очков нечетна и больше 5; 2. сумма выпавших очков четна и делится на 3. В примере пространство элементарных событий состоит из 36 элементов – (1,1), (1,2), …, (6,6). Нашим условиям удовлетворяют следующие события (соответственно A, B): в первом случае – ; во втором случае – . Пространство элементарных событий: . Все события равновероятныи несовместны. Тогда .
Проводя повторные испытания, каждое из которых удовлетворяет одной и той же схеме испытаний Бернулли, мы придем к формуле Бернулли.
Пусть проводится испытаний, в каждом из которых «успех» осуществляется с вероятностью , «неудача» с вероятностью . Тогда вероятность того, что при испытаниях будет ровно успехов, вычисляется по формуле:
.
При больших значениях пользоваться формулой Бернулли становится достаточно сложно. Поэтому естественным является вопрос об асимптотической формуле нахождения вероятностей искомого события. В 1730 г. Муавр нашел искомую асимптотическую формулу для частного случая , а Лаплас в 1783 г. Обобщил формулу Муавра для произвольного отличного от 0 и 1.
Локальная теорема Муавра-Лапласа Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции , где , а значения находят по статистическим таблицам.
Для вычисления вероятности того, что при испытаниях событие появится не менее раз и не более раз используют асимптотическую интегральную теорему Муавра–Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу
,
где и .
Распределение Пуассона Пусть мы находимся в условиях предыдущего пункта, то есть, проводится испытаний, в каждом из которых «успех» осуществляется с вероятностью , «неудача» с вероятностью . Пусть вероятность события мала . Тогда вместо теоремы Муавра-Лапласа (нормального закона распределения) надо использовать теорему Пуассона (распределение Пуассона). При этом делается важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях, то есть при различных значениях , остается постоянным. Тогда, справедливо соотношение:
.
Геометрическое распределение Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых «успех», событие , осуществляется с вероятностью , «неудача» с вероятностью . Испытания заканчиваются, как только появится событие (то есть до первого успешного события). Пусть – дискретная случайная величина. Тогда справедливо соотношение:
. Полагая , в формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем .
Отрицательное биномиальное распределение Это распределение имеет место в тех случаях, когда последовательность испытаний обрывается сразу же после - го успеха. При этом рассматривают две случайные величины: случайная величина – число неудач, предшествовавших -му успеху, и случайная величина – общее число испытаний до - го успеха (включая - й успех).
Определение: Однозначную действительную функцию , определенную на пространстве элементарных событий , называют случайной величиной, если при каждом выборе действительного числа множество всех тех , для которых справедливо неравенство , принадлежит к системе множеств . Эта функция отображает множество на множество всех действительных чисел. Если и являются борелевскими алгебрами, тогда содержит все борелевские множества . Определение:Функция называется функцией распределения случайной величины . Свойства функции распределения:
Закон больших чисел Теорема, доказанная Якобом Бернулли (1713), и которая получила название «закон больших чисел», положила начало теории вероятностей как науки. Теорема Бернулли: Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
То есть, если – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы справедливо равенство: . Таким образом, закон больших чисел в форме теоремы Бернулли можно считать обоснованием для использования классического определения вероятности.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) Содержательная формулировка ЦПТ: Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то имеет распределение близкое к нормальному распределению.
Пусть – последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечное математическое ожидание и дисперсию: Пусть Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если при любом функция распределения нормированной суммы при стремится к нормальной функции распределения:
.
Математическая статистика
Статистика – любая функция от выборки (результатов наблюдения).
Генеральная совокупность – все множество однородных объектов, из которого по определенному правилу выбирается некоторое подмножество, называемое выборкой. Под выборкой в широком смысле понимают конечную совокупность результатов наблюдений, представляющих собой независимые одинаково распределенные случайные величины.
Репрезентативная (представительная) выборка – выборка из генеральной совокупности, учитывающая качественные и количественные соотношения генеральной совокупности (генеральная совокупность «в миниатюре»).Понятие «репрезентативная выборка» широко используется в социологических, экономических, медицинских исследованиях.
Задачи, решаемые методами математической статистики, по своей сути, являются обратнымик задачам теории вероятностей.
Основная задача теории вероятностей – нахождение вероятностей сложных событий по вероятностям простых событий. Задачи математической статистики – по вероятностям сложных событий нахождение вероятностей простых событий, нахождение оценок количественных характеристик случайной величины, оценок законов распределения.
Статистический критерий – случайная величина, по распределению которой мы либо принимаем соответствующую статистическую гипотезу или отвергаем ее с заданным уровнем значимости.
Эмпирическая функция распределения и оценка плотности распределения (гистограмма).
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (384)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |