Проверка статистических гипотез. Критерии согласия.

Рассмотрим случай, когда по выборочным данным случайной величины построена эмпирическая функция распределения , и у нас есть основания выдвинуть гипотезу о том, что наша случайная величина распределена по теоретическому распределению . Тогда мы можем определить некоторую неотрицательную меру отклонения эмпирической функции распределения случайной величины от предполагаемой теоретической функции распределения:

Величину можно определить разными способами, в соответствие с которыми получаются различные критерии для проверки гипотезы о функции распределения случайной величины. Например, можно положить:

1. , где верхняя грань по переменной .
2. .

В первом случае получим критерий Колмогорова. Во втором случае (при k=1) – критерий .

Общий алгоритм проверки статистической гипотезы о виде функции распределения случайной величины будет следующим:

1. Зададимся уровнем значимости .
2. Найдем, зная распределение случайной величины такое число что
3. По выборочным данным построим эмпирическую функцию распределения .
4. Вычислим значение
5. Если тот считаем, что выдвинутая статистическая гипотеза не противоречит опытным данным и может быть принята.

Критерий согласия

Рассмотрим в качестве меры согласования величину .

Предельное, при распределение случайной величины , было получено Н.В. Смирновым. Оказалось, что это распределение не зависит от вида рассматриваемой непрерывной функции распределения .

Итак, пусть у нас случайная величина представлена своими выборочными значениями . Пусть наша гипотеза состоит в том, что случайная величина имеет непрерывную функцию распределения , и считается известной.

Согласно рассмотренному выше алгоритму

По выборочным данным строим вариационный ряд и эмпирическую функцию распределения .

Тогда, справедливо соотношение:

Отсюда имеем:

Таким образом:

объединяя члены, зависящие от , получим

Это равенство показывает, каким образом зависит от индивидуальных членов вариационного ряда. Оно и служит для вычисления по данным выборки.

Точное распределение очень сложно, но известно, что уже при объеме выборки , распределение близко к некоторому предельному распределению, для которого существуют таблицы. По этим таблицам определяют критические значения для величины .

Критерий согласия Колмогорова А.Н.

Этот критерий применяется, когда функция распределения непрерывна. Статистикой является

Замечание:

Распределение статистики не зависит от вида функции .

Пример: См. лекции.