Прогнозирование. Экспоненциальное сглаживание

При прогнозировании временных рядов рассматривают, как правило, следующие случаи.

1. Стационарные ряды (нет тренда и сезонной составляющей).

2. Временной ряд с трендом, но без сезонности.

3. Временной ряд с трендом и сезонностью.

В первом случае для прогнозирования используют простое экспоненциальное сглаживание.

Во втором случае модель Хольта (модель Бокса-Дженкинса).

В третьем случае трехпараметрическую модель Хольта-Винтерса (для мультипликативной модели) и модель Тейла-Вейджа (модель ряда с аддитивной сезонностью).

Простое экспоненциальное сглаживание

Рассмотрим стационарный ряд с параметрами

Так как тренда нет, то используеммультипликативную или аддитивную модель вида:

,

.

Рассмотрим аддитивную модель.

Сглаживание ряда: (*)

где

Для “стабильных” рядов следует выбирать коэффициент близким к 1. При существенном влиянии коэффициент выбирают около 0.

Для справедливо:

1. — некоррелированность.

2.

 

Утверждение: Уровни, сглаженные по (*) имеют тоже математическое ожидание m, но меньшую дисперсию:

 

)=

 

то есть, чем меньше , тем меньше дисперсия сглаженных уровней.

В качестве начального сглаженного значения можно взять значение первого уровня.

 

Тогда:

...

Коэффициенты при уровнях ряда:

убывают по показательному (экспоненциальному) закону, поэтому и метод называется методом экспоненциального сглаживания.

Убывающие коэффициенты дают меньший вес “старшим” уровням ряда.

 

Экспоненциальное сглаживание в модели с трендом

В этой модели тренд также подвергается процедуре сглаживания.

Рассмотрим модель Хольта:

 

 

где t – независимая переменная (время),

 

Первое уравнение представляет собой экспоненциальное сглаживание .

Второе уравнение сглаживает тренд на каждом шаге.

Для начала расчета по рекуррентным формулам необходимо задать начальные значения

Как правило, берут (нет тенденции).

Данная модель позволяет прогнозировать значения временного ряда на последующие периоды. Прогноз определяется по формуле:

 

Прогноз для последующих периодов:

 

Обобщением модели Хольта является трехпараметрическая модель Бокса-Дженкинса:

 

где

Замечание: Модель Бокса-Дженкинса используется редко, так как наилучшая модель достигается при близких к 0.

 

Экспоненциальное сглаживание в модели с трендом и сезонностью

При мультипликативном характере сезонной компоненты наиболее распространенной является трехпараметрическая модель Хольта-Винтерса:

 

 

где

 

Прогноз на k периодов:

 

Начальные данные

Cамый простой случай:

все начальные (то есть до 1-го уровня) индексы сезонности =1, .