Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Показатель среднего квадратического отклонения характеризует меру «разброса» или меру отклонения случайной величины от ожидаемого значения , т. е. меру неопределенности ожидаемого экономического результата. В частности, если для некоторой альтернативы m имеет место равенство (или ), то экономический результат такой альтернативы не отклоняется от ожидаемого расчетного значения, т. е. в таком случае нет неопределенности, следовательно, нет и риска. Чем больше , тем в среднем больше ожидаемое отклонение, т. е. тем выше неопределенность и риск.

Для дискретной случайной величины дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяются следующим образом:

, (1.5)

. (1.6)

Для непрерывной случайной величины

(1.7)

. (1.8)

Пример 1.1.Фирма рассматривает предложение об инвестировании на один год своих свободных денежных средств в предприятие, занимающееся автоперевозками [3]. Рентабельность этого предприятия, а, следовательно, и рентабельность инвестиций фирмы зависит от возможного изменения тарифов (например, из-за соответствующего изменения цен на нефть). Пусть по оценкам экспертов в рамках анализа таких рисков соответственно необходимо учесть следующие возможные сценарии (в среднем за год):

1. С вероятностью 0,3 тарифы возрастут на 30% (событие А1).

2. С вероятностью 0,4 тарифы возрастут на 20% (событие А2).

3. С вероятность 0,1 тарифы возрастут на 10% (событие А3).

4. С вероятностью 0,1 тарифы останутся на прежнем уровне (событие А4).

5. С вероятностью 0,1 тарифы снизятся на 10% (событие А5).

В соответствии с такими возможными вариантами развития событий (в среднем за год) ожидаются следующие поступления/выплаты на каждую инвестируемую 1 000 у. е.:

 

Ситуации	А1	А2	А3	А4	А5
Выплаты

 

Руководство фирмы желает получить комментарии относительно ожидаемой рентабельности такого предложения в условиях риска.

Решение. Рентабельность инвестиционного предложения, например, для первого сценария А1 будет определяться из соотношения

,

тогда случайная величина рентабельности может быть задана соответствующим дискретным законом распределения вероятностей.

 

Значения	0,5	0,4	0,2		–0,1
Вероятности	0,3	0,4	0,1	0,1	0,1

 

Математическое ожидание рентабельности

Дисперсия

.

.

Среднеквадратическое отклонение

.

Итак, ожидаемое значение рентабельности анализируемого предложения на каждую 1 000 у. е. составляет 32%. При этом в рассмотренном примере соответствующий риск (как риск отклонения рентабельности) составляет 20,4%.

Пример 1.2.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a, b] [16], если

.

Функцию распределения случайной величины можно найти следующим образом:

– если , то

,

– если , то

,

при

.

Таким образом,

.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины можно найти следующим образом:

,

,

.

Пример 1.3. Фирма, занимающаяся морскими перевозками, имеет два предложения на один и тот же период времени [3]. Ресурсы фирмы позволяют ей заключить только один контракт из предлагаемых. Условия этих контрактов включают соответствующие штрафные санкции из-за возможных случайных задержек груза. При этом доход фирмы Y с учетом имеющихся рисков можно представить следующим образом.

Для первого из этих контрактов доход Y₁ (в тыс. у. е.) к концу периода представляется в виде

,

где – случайные возможные потери из-за забастовок докеров в порту, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятностей N(20; 10);

– случайные потери (не зависящие от X₁), обусловливаемые задержками в доставке из-за погодных условий, подчиняющиеся равномерному закону распределения вероятностей R(0; 10).

Аналогичное представление дохода в рамках второго из рассматриваемых контрактов имеет вид

,

где случайные составляющие и независимы друг от друга, причем подчиняется нормальному закону распределения вероятностей N(15; 3), а подчиняется равномерному закону распределения вероятностей R(0; 4).

Математическое ожидание дохода для первого из этих контрактов равно у. е.; для второго – у. е.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дохода для первого контракта

,

у. е.

Для второго контракта:

,

у. е.

Пример 1.4.Некоторая фирма приняла решение прекратить выпуск подъемных рельсов и приобретать их у поставщиков [9]. Фирме требуются рельсы диаметром 1 дм. Компания получила образцы в количестве 10 шт. от двух поставщиков. Результаты их замеров приведены в таблице (см. первые два столбца на рис. 2).

Решение задачи в Excel:

 

Рис. 2. Обобщающие характеристики по поставщикам

Заметим, что требуемые характеристики – среднее значение и медиана – находятся с помощью функций СРЗНАЧ, МЕДИАНА, для обоих поставщиков они одинаковы и равны 1 дм. Однако кроме этого, необходимо вычислить меру разброса значений. Воспользуемся функциями ДИСП и СТАНДОТКЛОН. Результаты применения статистических функций приведены на рис. 2 в двух последних столбцах.

Упражнение 1.1. Финансовый аналитик должен обосновать включение в портфель дополнительной ценной бумаги, выбрав одну из двух ценных бумаг, историческая доходность которых за последние 5 лет представлена в следующей таблице.

 

Доходность акции А, %	14,75	7,23	15,66	18,45	12,14
Доходность акции В, %	20,33	10,85	5,22	22,41	19,23

 

Упражнение 1.2. Посоветуйте инвестору, какой из двух инвестиционных проектов выбрать: проект А с вероятностью 0,6 принесет прибыль 15 млн рублей, и с вероятностью 0,4 принесет убытки в размере 5,5 млн рублей. Проект В с вероятностью 0,8 принесет прибыль 10 млн рублей, а с вероятностью 0,2 – потери 6 млн рублей.

Упражнение 1.3. Необходимо принять решение об участии в одном из двух финансовых проектов, доходности которых зависят от состояния экономики страны. Варианты развития состояния экономики и соответствующие доходности проектов представлены в следующей таблице:

Состояние экономики	Вероятность	Доходность, %
Проект 1	Проект 2
Глубокий спад	0,05	–3	–2
Спад	0,2
Стагнация	0,5
Подъем	0,2
Быстрый рост	0,05

 

Упражнение 1.4. Предприниматель решает, в какой бизнес выгоднее вложиться: заняться бытовой техникой или выйти на рынок телекоммуникаций. При выборе первой альтернативы, при прочих равных условиях, через год случайный конечный доход реализуется с равными шансами в интервале от 37 тыс. у. е. до 73 тыс. у. е. При выборе второй альтернативы – в интервале от 40 тыс. у. е. до 69 тыс. у. е. Какой вид бизнеса выберет предприниматель?

Упражнение 1.5. Имеются объемы выручки от реализации продукции трех видов, они оцениваются как случайные величины с распределениями следующего вида:

 

Продукция вида А (тыс. у. е.)
X
P	0,15	?	0,4	0,2	0,13

 

Продукция вида Б (тыс. у. е.)
X
P	0,03	0,07	0,04	0,71	?

 

Продукция вида В (тыс. у. е.)
X
P	0,2	0,05	0,14	?	0,31

 

Производство какого вида продукции стоит выбрать предпринимателю?

Упражнение 1.6. Доход для первой альтернативы принимается как случайный конечный экономический результат, значения которого с равными шансами реализуются в интервале от 100 до 250 тыс. у. е., а для второй – от 95 до 220 тыс. у. е. Оцените и сравните риски.

Упражнение 1.7. Предположим, что мы собираемся инвестировать в компанию, распределение дохода которой носит характер, представленный в следующей таблице:

Доход, % годовых	Частота возникновения	Вероятность
		0,2
		0,3
		0,3
		0,2
ИТОГО:		1,0

 

Какой средний доход ожидается в следующем году? Какая неопределенность относительно этого среднего может быть в следующем году? Какие значения дохода можно ожидать с вероятностью 95,4%?

 

VaR (ValueatRisk)

В качестве меры риска могут быть выбраны и другие показатели, в той или иной мере характеризующие возможный ущерб и закон его распределения. К их числу можно отнести квантили [15].

В общем случае под квантилем, соответствующим доверительной вероятности , понимается уровень ущерба, вероятность превышения которого равна (соответственно вероятность непревышения
равна ). Иными словами, квантиль , где – функция распределения потерь x.

В финансовой сфере квантили при достаточно малых значениях именуют термином VaR (ValueatRisk).

Снова обращаясь к типологии рисков, например, к [10; 16], надо отметить, что среди финансовых рисков принято выделять рыночный риск.В [16] рыночный риск определяется как возможность несоответствия характеристик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым лицами, принимающими решения под действием рыночных факторов. Однако при объяснении методологии VaR используется понятие риска, связанное с возможностью лишь неблагоприятных исходов, убытков и негативных последствий.

Наиболее часто применяется классификация рыночных рисков по сегментам рынка. Так, в состав рыночных рисков входят процентный риск, валютный риск, ценовой риск рынка акций, ценовой риск товарных рынков, риск рынка производных финансовых инструментов.

Рыночный риск связан с возможными потерями из-за неблагоприятных для инвестора изменений цен, а точнее, с неопределенностью будущей динамики цен на рынках.

Говоря об оценке рыночных рисков, стоит ввести несколько определений.

Портфельный подход предполагает восприятие активов и пассивов предприятия (а в общем случае и иных благ) как элементов единого целого – портфеля, сообщающих ему характеристики риска и доходности, что позволяет эффективно проводить анализ возможностей и оптимизацию параметров экономических рисков.

Портфель – это набор активов (пассивов), являющихся титулами собственности или иных благ, который представляет собой составной актив (пассив), имеющий параметры риска и доходности (стоимости), изменяющиеся под воздействием двух факторов:

-изменения состава портфеля (выбытие активов, обмен);

-изменения риска и доходности (стоимости), составляющих портфель активов (пассивов) в связи с изменениями как самих активов (пассивов), так и конъюнктуры рынков.

Риск портфеля активов компании можно описать функцией распределения изменения стоимости (доходности) портфеля за некоторый временной интервал, рассмотрев все возможные сценарии развития рисковых ситуаций на рынках и определив для каждого из них изменение стоимости (доходности) портфеля.

В практике управления рыночными рисками применение в качестве оценки риска стандартного отклонения имеет некоторые недостатки:

во-первых, как правило, лица, принимающие решения по управлению портфелем, предпочитают получать информацию о риске в виде величины реальных денежных потерь, а не в форме стандартного отклонения;

во-вторых, стандартное отклонение учитывает как благоприятные изменения стоимости портфеля, так и неблагоприятные. Если распределение изменения стоимости портфеля имеет симметричный вид, то стандартное отклонение дает корректное значение риска. Но современный портфель имеет в своем составе опционы и подобные опционам инструменты. Изменение стоимости таких инструментов относительно рыночных цен является нелинейным. Это приводит к тому, что распределение изменений стоимости портфеля перестает быть симметричным и стандартное отклонение дает некорректную оценку риска.

Альтернативные методы измерения и управления риском развивались параллельно с ростом финансовых рынков. Один из таких методов измерения риска – VаR – стал особенно широко применяться в последние несколько лет и сегодня используется в качестве основы международными банковскими организациями (например, BIS) при установлении нормативов величины капитала банка относительно риска его активов. Методология VaR стала применяться также для оценки рисков контрагентов, оценки операционных рисков.

Метод VаR был разработан для того, чтобы с помощью одного единственного числа отобразить информацию о риске портфеля.

VaR – (дословно «стоимость под риском») – выраженная в данных денежных единицах (базовой валюте) оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.

Необходимо отметить, что данный показатель позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в нормальных условиях функционирования рынка.

Пусть фиксирован некоторый портфель открытых позиций. VaRпортфеля для данного доверительного уровня и данного периода поддержания позиций t определяется как такое значение, которое обеспечивает покрытие возможных потерь x держателя портфеля за время t с вероятностью

Как следует из определения, VaR – наибольший ожидаемый убыток, обусловленный колебаниями цен на финансовых рынках, который рассчитывается:

на определенный период времени в будущем (временной горизонт);

с заданной вероятностью его непревышения (уровень доверия);

при данных предположениях о характере поведения рынка (метод расчета).

Доверительный интервал и временной горизонт – ключевые параметры, без которых невозможен ни расчет, ни интерпретация показателя VaR.

Например, VaR в 10 млн рублей для временного горизонта 1 день и доверительной вероятности 99% будет означать (при условии сохранения тенденций рыночной конъюнктуры), что:

вероятность того, что в течение следующего дня мы потеряем меньше чем 10 млн рублей, составляет 99%;

вероятность того, что убытки превысят 10 млн рублей составляет 1%;

убытки, превышающие 10 млн рублей, ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.

Для расчета VaR необходимо выбрать факторы, которые влияют на уровень волатильности доходности в торговом или инвестиционном портфеле. Например, в случае портфеля ценных бумаг факторы риска – это цены на конкретные бумаги, входящие в портфель. Затем можно использовать эти факторы для получения распределения ценности портфеля для конкретного временного горизонта риска (или распределения изменений ценности портфеля). После получения распределения можно рассчитать среднее и квантили этого распределения для получения VaR портфеля.

Определив факторы риска, которые приводят к волатильности доходности портфеля, риск-аналитик должен выбрать соответствующую методологию получения распределения. Существуют три способа:

1) метод исторического моделирования;

2) аналитический (параметрический) подход;

3) метод моделирования Монте-Карло.