Методы многокритериальнойоптимизации

Впервые проблема МКОмногокритериальной оптимизации возникла у итальянского экономиста В.Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена.Методы, основанные на свертывании критериев. Вместо частных критериев рассматривается один скалярный критерий, полученный путем комбинации частных критериев. Различают аддитивный и мультипликативный методы свертывания критериев.Метод аддитивной свертки критериев. Пусть критерии соизмеримы, например, нормированы и определен вектор весовых коэффициентов критериев , характеризующих важность каждого критерия. Это значит, что ,если критерий имеет приоритет над критерием . При этом

, .

Для аддитивного метода строится новая целевая функция

и решается задача оптимизации скалярного критерия

при условии .

Можно доказать, что решение задачи со скалярным критерием является эффективным для задачи.

Задачи многокритериальной (или векторной) оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько альтернатив, целей, которые не могут быть отражены одним критерием (например, стоимость, надежность, вес, мощность и т. п.).Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует всю совокупность этих критериев. Например, выбирая работу, претендент, как правило, рассматривает несколько критериев, ему хочется, чтобы заработная плата была как можно выше; условия работы были как можно комфортнее; работа была как можно ближе к дому или модернизация производства, в процессе которой хочется достигнуть максимальной эффективности с наименьшими затратами или выбор инвестиционного решения, когда хочется получить максимальный доход при наименьшем риске. Конечно, решения, которое одновременно удовлетворяло бы всем противоречивым требованиям, как правило, не существует, а значит и решение принимается в условиях риска. Метод обобщенного критерия. Метод перехода от нескольких критериев f₁,f₂,…f_m к одному, задаваемому новой функцией С =∑( а_jf_j ) называется сверткой или методом обобщенного критерия, где а_jявляются весовыми коэффициентами, причём их сумма ∑ а_j= 1. Чем больше а_j, тем больший «вклад» вносит j-й критерий в обобщенный критерий С. Следует заметить , что чем больше значение критерия f_j, то это не всегда хорошо, например, расход топлива в автомобиле, поэтому необходимо ввести бальную оценку критериев Б(f_j) по шкале «хуже – лучше», где действительно чем больше значение балла Б(f_j), тем лучше.

Задача. Рекламное агентство, в штате которого 12 человек, получило заказ на рекламу нового продукта на радио и ТВ. Основные данные об аудитории, стоимости рекламы и количестве занятых ее изготовлением агентов занесены в таблицу (на 1мин.):

Радио ТВ

Рекламная аудитория (млн. чел.) 5 10

Стоимость минуты (тыс. долл.) 4 16

Количество занятых агентов 1 2

Рекламное агентство решает задачу о максимизации выгоды от возможной аудитории и минимизации издержек на рекламу при условии, что контракт запрещает использовать более 4 минут рекламы на радио. Необходимо найти Парето-оптимальную границу, где и находится оптимальное решение.

Пример. Риски формирования товарного ассортиментана закупку женской обувипо данным представленным в таблице 1:

Показатели сопоставим с помощью метода парных сравнений. Гарантийный срок – Р_гс; Прочность крепления деталей низа – Р_п; Масса одной полупары – Р_м; Жесткость подноска и задника (остаточная деформация) – Р_ж; Гибкость – Р_г; Эстетические свойства - Р_э. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2

Метод парных сравнений показателей

После заполнения матрицы элементами сравнения находим по строкам суммы баллов (S_i ) по каждому показателю:

Где, - количество показателей, = 6.

Правильность заполнения матрицы определяем равенством

Затем определяем вес показателей М_iпо формуле:

Следует отметить, что:

Приоритет показателей распределяется по рангу R_i, который пропорционален значению коэффициента веса: чем больше его значение, тем выше ранг, причем наибольшему значению М_iсоответствует R_i = 1. На этом основании ранжированный перечень потребительских характеристик женской обуви будет выглядеть следующим образом: Прочность крепления деталей низа – Р_п; Гибкость – Р_г; Жесткость подноска и задника (остаточная деформация) – Р_ж; Эстетические свойства - Р_э.; Масса одной полупары – Р_м; Гарантийный срок – Р_гс.

Для объективного вычисления значений целевой функции по каждой паре обуви введем бальную оценку показателей. Предположим, что чем лучше качественное содержание показателя, тем выше его бал оценки. Тогда используя данные Таблицы 1, можно построить следующую матрицу балльных оценок Б_i(р_i). Данные представлены в таблице 3.

Таблица 3

Балльная оценка показателей

На основе данных таблицы 3 можно определить значения интегральных оценок качества обуви без учета цены по формуле:

Q _{Laura Berti} = 0,06*1+0,31*4+0,08*1+0,19*1+0,25*1+0,11*1= 1,93

Q _Baden = 0,06*2+0,31*5+0,08*5+0,19*5+0,25*5+0,11*5= 4,82

Q _M-shoes = 0,06*3+0,31*3+0,08*2+0,19*4+0,25*1+0,11*2= 2,5

Q _Rieker = 0,06*5+0,31*5+0,08*4+0,19*5+0,25*5+0,11*5= 4,92

Q _Alba = 0,06*1+0,31*1+0,08*1+0,19*1+0,25*3+0,11*3= 1,72

Поскольку Q _Rieker> Q _Baden > Q _M-shoes > Q _{Laura Berti}> Q _Alba следуетпокупатьженскуюобувьRieker. Можно воспользоваться другой системой решающих правил. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Перечень характеристик обуви женской

В соответствии с этими правилами выбор приходится тоже на торговую марку Rieker. Если предположить, что интегральные оценки отображают качество обуви, то выбор можно провести по отношениям цена/качество.

Ц/ Q Laura Berti = 1500/1,93 = 777, 2Ц/ Q Baden = 1650/4,82 = 342,32

Ц/ Q M-shoes = 1600/2,5 = 640Ц/ Q Rieker = 1680/4,92 = 341,46

Ц/ QAlba = 1430/1,72 = 831,4

Минимальное отношение цена/качество указывают на необходимость приобретения женской обуви Rieker. А ассортимент формировать следует в количествах, в долях, определяемых отношением, например, Q_Rieker к их сумме ∑Q(а_i)= 15,89. Так, например, для Rieker=4,92/15,89=0,3 от выделенной суммы на закупку, тогда риск упущенной выгоды будет определяться разностью 0,3-0,2=0,1, то есть 10%. Для Alba= Q_Alba/ 15,89= 0,1 от выделенной суммы, тогда риск-убыток составит 0,1-0,2= -0,1, то есть 10% товаров этой марки залягут на складе, заморозят оборотные средства. Определите возможные риски в операции закупки товаров.