Проектирование наблюдателей при неизвестном входе

Будем рассматривать такой класс систем, в котором неопределенности системы могут быть представлены в качестве неизвестной аддитивной составляющей, а динамические уравнения имеют такой вид:

                             (2.50)

где  - вектор состояния,  - известный вектор входа,  - вектор выхода и  - вектор неизвестного входа (или возмущения). A,B,C - известные матрицы соответствующих размерностей.

Составляющая Ed(t) может быть использована для описания как аддитивных возмущений так и для других видов моделируемых неопределенностей. Например, шума, составляющих связей в крупномасштабных системах, нелинейных составляющих в динамике системы, составляющих, возникающих из-за изменения во времени динамики системы, ошибок линеаризации и ошибок понижения порядка модели, вариаций параметров.

Определение 2.1. Наблюдатель называется наблюдателем при неизвестном входедля системы, описываемой уравнением (2.50), если вектор ошибки оценки состояния e_x(t) асимптотически стремится к нулю, не смотря на наличие неизвестного входа (возмущения) в системе.

Структура наблюдателя полного порядка может быть представлена следующим образом:

               (2.52)

где  - оцениваемый вектор состояния, а - вектор состояния этого наблюдателя полного порядка, F , T , K , H – матрицы, которые необходимо спроектировать для выполнения отделения неизвестного входа и других требований проектирования. Наблюдатель, описываемый уравнениями (2.52) представлен на рисунке 2.18.

Когда наблюдатель (2.52) проектируется для системы (2.51) ошибка оценки (e_x(t) = - ) удовлетворяет уравнению:

 (2.53)

где                       К=К₁+К₂.                              (2.54)

Рис. 2.18. Структура наблюдателя при неизвестном входе полного порядка

Если выполняются следующие равенства:

,                                  (2.55)

,                               (2.56)

,           (2.57)

,                    (2.58)

то ошибка оценки будет:

.                                               (2.59)

Если все собственные числа F устойчивы, e_x(t) будет асимптотически стремиться к нулю, т.е.  Это означает, что наблюдатель (2.52), в соответствии с определением 2.1, является наблюдателем при неизвестном входе для системы (2.51). Проектирование этого наблюдателя заключается в решении уравнений (2.54)-(2.58) и выборе матрицы F так, чтобы все ее собственные числа были устойчивы.

Теорема 2.1. Необходимыми и достаточными условиями существования наблюдателя (3.2) при неизвестном входе для системы описываемой уравнением (4.51) является:

1. ранг ( CE) = ранг (E),

2. ( А₁, С) является обнаруживаемой парой где

А₁ = А – Е(СЕ)⁺СА.                                      (2.62)

Стоит заметить, что для удовлетворения условия (1) теоремы 2.1 число независимых строк в матрице С должно быть меньше чем число независимых столбцов матрицы Е. Это означает, что максимальное количество возмущений, которые могут быть отделены не может быть больше чем число независимых измерений.

Кроме того, без неизвестных входов в системе, при установке T = I, H=0 и Е=0, наблюдатель (2.52) будет простым наблюдателем Люненбергера. В этом случае, условие (1) Теоремы 2.1 выполняется в любом случае, а условие (2) сводится к условию обнаруживаемости пары (А,С). Это – хорошо известный результат проектирования наблюдателя Люненбергера полного порядка.

Можно показать, что при проектировании наблюдателей при неизвестном входе К₁ является матрицей свободных параметров. После вычисления К₁ для того, чтобы обеспечить устойчивость матрицы динамической системы F, другие параметры матриц наблюдателя могут быть вычислены из соотношения К = К₁+ К₂ и условий (2.55)-(2.58). Некоторая свобода проектирования допускаемая при выборе К₁ может быть использована, чтобы придать рассогласования необходимые проектировщику характеристики.

Процедура проектирования наблюдателя при неизвестном входе может быть представлена следующим образом:

1. Проверяем условие равенства рангов для Е и СЕ: если ранг(СЕ)≠ранг(Е) наблюдатель не существует, переходим к пункту 10.

2. Вычисляем матрицы H, T и A₁:

,          (2.63)

    ,                                         (2.64)

.                                     (2.65)

3. Проверяем наблюдаемость: если (С, А₁) наблюдаема, то наблюдатель существует, а матрица K₁ может быть вычислена с использованием метода расположения полюсов из условия обеспечения устойчивости матрицы F. Переходим к шагу 9.

4.  Создаем матрицу преобразования P для выполнения канонического разложения наблюдателя: выбираем n₁ = rank(W₀) (W₀ матрица наблюдаемости (C, A₁)) независимых строчек p₁^T, …, p_n1^T из матрицы W₀, вместе с другими n-n₁ строками p_n1+1^T, …, p_n^T для формирования невырожденной матрицы :

P = [ p₁, …, p_n1 ; p_n1+1, …, p_n  ]^T                                     (2.66)

5. Выполнить каноническое разложение (C, А₁):

, .        (2.67)  

6. Проверить обнаруживаемость (C, A₁): если хотя бы одно собственное число A₂₂ неустойчиво, наблюдатель с неизвестным входом не существует, переходим к шагу 10.

7. Выбрать n₁ желаемых собственных чисел установить из выбором A₁₁-K_p¹C* c помощью размещения полюсов.

8. Вычислить:

K₁= P^-1K_p = P^-1[(K_p¹)^T (K_p²)^T]^T                            (2.68)

где K_p² может быть любой матрицей размерности (n-n₁)*m.

9. Вычислить F и К:

F = A₁-K₁C,                                          (2.69)

K = K₁+K₂ = K₁+FH.                            (2.70)

10. Конец.