Интегралы, входящие в выражение (5.5) можно вычислить аналити-чески, если известно аналитическое выражение усилий на участках пло-ской стержневой системы. Однако чаще эти интегралы вычисляются чис-ленно с использованием для этого ординаты на эпюрах внутренних уси-лий в характерных точках.
Рассмотрим способы вычисления интегралов (5.5) с помощью чис-ленного интегрирования.
I. Использование правила Верещагина
Правило используется в том случае, если одна из перемножаемых эпюр линейна, а жесткость участка постоянна. Процедура интегрирования заменяется суммой произведений:
∑∫liM i M j dx=∑ω⋅Yc.
0 EJEJ ii
Здесь ω - площадь одной из перемножаемых эпюр (например, M i), поло-жение центра тяжести которой известно. Очертание этой эпюры может быть произвольным. Y c – ордината с другой перемножаемой эпюры M j, взятая под центром тяжести эпюры M i. Ордината берется обязательно с линейной эпюры (рис. 5.11).
65
II. Использование формулы трапеции
Формула может быть использована для перемножения двух линейных эпюр (рис. 5.8).
M 1
M 1лев
= а1
M пр
= b
EJ- const
1
1
M 2
M 2пр
= b2
M 2лев
= а2
l
Рис. 5.8
∫l
M 1⋅ M 2
dx =
1
⋅
l
⋅ (2a1a2 + 2b1b2 + a1b2 + b1a2 ).
.
EJ
0
EJ
6
Учет знаков в этом выражении производится следующим образом: если перемножаются две ординаты, расположенные по одну сторону от оси, соответствующее слагаемое в формуле имеет знак плюс, если по раз-ные стороны – минус.
Формула может быть использована для перемножения трапеции с треугольником, двух треугольников и т.д. (рис. 5.9).
EJ – const
M 1
M 3
a 1
b 1
b 1
a 2
M 2
a 2
M 4
l
l
Рис. 5.9
∫l
M1⋅ M 2
dx =
1
⋅
l
⋅ (− 2a1a2 + b1a2 ).
∫l
M3⋅ M 4
dx =
1
⋅
l
⋅(− b1a2).
EJ
EJ
EJ
EJ
6
0
6
0
III. Использование формулы Симпсона
Формула дает точный результат, если подынтегральная функция яв-ляется полиномом не выше третьего порядка. То есть одна из эпюр может быть квадратной параболой, а вторая имеет линейный характер (рис. 5.10).
66
l/2
M 1
M ср= с
EJ - const
M
пр
= b
M лев
= a
1
1
1
1
1
1
M 2лев
M 2
M 2пр= b2
= a2
l
Рис. 5.10
∫l
M 1⋅ M 2
dx =
1
⋅
l
⋅(a1a2+4c1c2+ b1b2).
EJ
EJ
6
0
Учет знаков производится так же, как и для формулы трапеции.
Пример 5.1 .Требуется вычислить интеграл на участке,гдеxменяется от0до 5 м. Под интегралом произведение функции моментов M i и M j. Из-вестны значения этих функций в характерных точках (рис. 5.11).
I. Использование правила Верещагина
EJ - const
ц. т.
M i
x
5
M i⋅ M j
ω
⋅Y
3
3
∫
dx
=
1
c
=
EJ
EJ
M j
6
Y c =3,5
0
1
6 ⋅ 5
52,5
1,75
⋅
⋅ 3,5 =
EJ
EJ
7
5,25
3,5
2
l=5м
Рис. 5.11
II. Использование формулы трапеций.
В этом случае рассматриваем 2 участка длиной по 2,5 метра, т. к. пе-ремножаемые функции должны гладкими (без изломов).
5
M i⋅ M j
1
2,5
2,5
52,5
∫
dx =
⋅
(2
⋅ 6
⋅ 3,5
+ 6 ⋅ 7)+
(2
⋅ 6
⋅ 3,5)
=
.
EJ
EJ
6
6
EJ
0
III. Использование формулы Симпсона
Для этого случая необходимо на каждом участке вычислить сред-нюю ординату.
5
M i⋅ M j
1
2,5
2,5
52,5
∫
dx =
⋅
(4
⋅ 3 ⋅ 5,25
+ 6 ⋅ 3,5) +
(6
⋅ 3,5
+ 4 ⋅ 3 ⋅1,75)
=
EJ
EJ
6
6
EJ
0
67
Пример 5.2. Данабалка под силовой нагрузкой из примера2.1 (рис. 5.12).Требуется определить вертикальное перемещение шарнира B и угла пово-рота в сечении правее шарнира B. Жесткость на изгиб принять: EJ=2·105.
Решение. Эпюра изгибающих моментов М от внешней нагрузки была по-строена в примере 2.1. Эта эпюра соответствует действительному состоя-нию системы. Для определения требуемых перемещений понадобится еще
2 эпюры на 2-х возможных состояниях, соответствующих определяемым перемещениям.
F=16кН
M=24кНм
q=2кН/м
B
4 м
4 м
4 м 4 м
4 м
4 м 4 м
4 м
4 м
4 м
50
48
Действительное
состояние
M
24
16
F=150
36
Возможное
состояние 1
4
M 1
M=1
Возможное
состояние 2
0,5
1
0,5
M 2
Рис. 5.12
M ⋅
= ∑∫0l
1 4
266,667
266,667
= 133,33⋅10−5
∆верт B
M1
dx =
2 ⋅ 50 ⋅ 4 =
=
м =1,33 см .
EJ
EJ 6
EJ
5
2 ⋅10
Перемещение имеет знак «+». Это значит, что сечение переместится вниз по направлению силы F=1 на возможном состоянии 1.
l M ⋅
M
2
1
4
4
θ B
= ∑∫0
dx
=
(2
⋅ 50 ⋅ 0,5)
+
(2 ⋅ 0,5 ⋅ (−50) + 1⋅ (−50)
+
EJ
6
6
EJ
+
4
(2 ⋅ 0,5 ⋅ (−50) +
0,5 ⋅ (−36)) =
1
(200 − 400 − 272) =
− 78,667
= −39,333⋅10−5
рад.
6
6EJ
2 ⋅105
Перемещение имеет знак «−». Это означает, что сечение повернется про-тив хода часовой стрелки, т. е. противоположно направлению момента на возможном состоянии 2.
2019-08-13
280
Обсуждений (0)
