Пример 6.2. Дананеразрезная2-х пролетная балка,загруженная силовойнагрузкой (рис. 6.20, a). Жесткость балки на изгиб в 1-м пролете EJ, во 2-м пролете 1,5 EJ. Требуется построить эпюры M и Q, используя метод сил.
Порядок расчета
1. Вычислим степень статической неопределимости или число лишних связей метода сил(Л).Для неразрезной балки,представляющей1диск, эта величина определяется по выражению: Л=С 0–3, где С 0 – число опорных связей (в нашем случае С 0=4). Тогда Л = 4 – 3 = 1 , то есть балка один раз статически неопределима.
2. Покажем три варианта основных систем метода сил (о.с.) (рис. 6.18, а-г). Напомним, что основная система – это статически опреде-лимая и геометрические неизменяемая система, полученная из заданной статически неопределимой путем удаления лишних связей. В данном слу-чае необходимо удалить одну связь.
3. Самой рациональной является о.с. 3 (рис. 6.18, в), так как пред-ставляет собой две однопролетных независимо работающих балки. Здесь в
качестве неизвестного метода сил x1 принимается момент, возникающий в сечении над средней опорой B. Эту систему примем для дальнейшего рас-чета.
q=3,6кН/м
F 1 =24кН
F 2 =3кН
а)
A
EJ
B
C
D
1,5 EJ
2 м
10 м
12 м
2 м
б)
о.с. 1
x 1
в)
x 1
x 1
о.с. 2
x 1
x 1
о.с. 3
г)
Рис. 6.18
89
4.
Запишем в общем виде каноническое уравнение метода сил:
δ11x1+∆1p=0.
q=3,6кН/м
6 м
F 1 =24кН
F 2 =3кН
а)
A
B
O
C
D
EJ 1 =EJ
EJ 2 = 1,5 EJ
2 м
l 1 =10м
l 2 =12м
2 м
б)
x 1
x 1
О.с.
M 1
0,5
1
0,5
q=3,6кН/м
в)
A
B
24 кН
3 кН
5 м
B
C
D
V B
6 м
6 м
V C
2 м
6
M р
45
69
47,667
23,833
23,833
M оп
г)
47,667
д)
6
M
21,167
45,167
(кНм)
13,23
15,47
3 Q
е)
22,77
8,53
(кН)
q=3,6кН/м
F 1 =24кН
F 2 =3кН
ж)
13,23 кН
38,24 кН
КН
Рис. 6.19
90
5. Определим коэффициент δ11. Для этого в основной системе по-
строим эпюры M 1 от x 1 =1 (рис. 6.19, б). При этом для раскрытия интегра-ла используем методы численного интегрирования (стр. 65-67):
2
10
12
6
δ11 = ∑∫
M
dx =
⋅ 2 ⋅1⋅1 +
⋅ 2 ⋅1⋅1 =
.
1
EJ
6EJ
6 ⋅1,5EJ
EJ
6. Определим грузовой вектор ∆1p. Для этого в основной системе по-стоим эпюру M P от внешней нагрузки (рис. 6.19, в). При этом каждый уча-сток (A-B, B-C-D) рассматриваем как отдельную однопролетную балку.
На участке A-B эпюра криволинейна(квадратная парабола),т.к.балка загружена равномерно распределенной нагрузкой. Максимальный
момент равен
ql1
2
=
3,6 ⋅10
2
= 45 кНм.
8
8
На участке B-C-D необходимо определить опорные реакции V Bи V C.
∑M C=0;
откуда
V B =11,5кН.
∑M B=0;
откуда
V C =11,5кН.
Проверка: ∑Y = 0;
− 24− 3 +11,5 +15,5 = −27+ 27= 0.
Максимальный момент на участке в сечении О равен
M O =V B⋅6=11,5·6= 69кНм.
Грузовой вектор найдем перемножением единичной и грузовой эпюр мо-ментов:
1⋅ М р
10
6
∆1 p
= ∑∫
M
dx =
(4
⋅ 0,5 ⋅ 45 + 3⋅10) +
(2 ⋅ 0,5 ⋅ 69 +1⋅ 69) +
EJ
6EJ
6 ⋅1,5EJ
+
6
(2 ⋅ 0,5 ⋅ 69 − 6 ⋅ 0,5) =
286
.
6
⋅1,5EJ
EJ
7. Подставим полученные значения в уравнение метода сил:
6 +286=
EJx1EJ 0.
Отсюда получим: x1=−47,667кНм.
8. Построим эпюру M оп, (рис. 6.19, г), на которой над опорой В пока-зываем полученное значение x1. Так как этот момент имеет знак «–», то от-кладываем его выше оси.
9. Окончательную эпюру моментов M (рис. 6.19, д) построим как сумму эпюр:
ствием на участке A-B (рис. 6.22, а). Требуется построить эпюры M t и Q t.
Порядок расчета
а)
A
+ 8 0
B
C
D
- 16 0 EJ 1 =EJ
EJ 2 = 1,5 EJ
2 м
10 м
12 м
2 м
б)
x 1t
x 1t
о.с.
M 1
1
в)
χ
г)
M t
8,16
81,6
(кНм)
д)
Q t
(кН)
е)
6,8
КН
14,96 кН
6,8 кН
Рис. 6.22
Для расчета потребуются следующие дополнительные данные:
93
ƒ значение высоты поперечного сечения h s на участке где действует температура (т. е. в первом пролете). Примем h s = 0,5 м;
ƒ значение жесткости на изгиб EJ в 1-м пролете балки. Примем
EJ=1,7⋅105кНм2;
ƒ значение коэффициента температурного расширения α. Примем
α=1,2 10-5град-1.
Порядок расчета
1. Запишем каноническое уравнение метода сил
δ11x1t+∆1t=0.
Будем использовать ту же основную систему, что и при расчете на силовое воздействие (рис. 6.22, б). В этом случае коэффициент δ11 уже определен:
δ11 =EJ6 .
Найдем грузовой вектор ∆1t по выражению (6.10). Для выявления его знака построим эпюру кривизны χ (рис. 6.22, в), которая откладывается со сто-роны наибольшего значения температуры (в данном случае выше оси).
∆
= α (ω−
⋅
∆t
) = α
1⋅10
⋅
24
= −240α;
где
∆
t
=
8
0 −
(
−
16
0
)
=
24
0
.
1t
M 1
h
2
0,5
s
Выражение ∆1t имеет знак «–», т. к. эпюра M1 и эпюра χ расположены по разные стороны от оси балки.
2. Подставим полученное значение в уравнение метода сил:
6
x1t−240α =0;из которого получим
EJ
x1t=40α ⋅ EJ =81,6кНм.
Обратим внимание, что усилия от действия температуры прямо пропор-циональны значению жесткости(в нашем примере жесткости на изгиб EJ).Зависимость от коэффициента линейного расширения α также прямо про-порциональна. То есть увеличение этих параметров ведет к пропорцио-нальному увеличению внутренних усилий.
3. Эпюру M t (рис. 6.22, г) построим умножением эпюры M 1 на x1t :
M t= M 1⋅ x t1.
4. Проверку правильности построения эпюры M t выполним по вы-ражению (6.12). Определим первое слагаемое этого выражения
M
1
⋅ M
t
dx =
2
3
312.72
⋅10−5.
(2 ⋅ 3 ⋅ 52,125)
=
= 270,052
∑∫
EJ
6
1,158⋅
105
EJ
К полученному значению добавим ∆1t. Чтобы проверка выполнялась, ре-зультат должен равняться нулю:
веденному в расчете на силовое воздействие (рис. 6.23).
а)
A
M=103,889кНм
б)
M=103,889кНм
C
B
B
V А = 10,39кН
V B = 10,39кН
V B = 8,66кН
V C =8,66кН
2 м
10 м
12 м
2 м
Q t
10,39
Q t
Рис. 6.23
8,66
Эпюра Q t , построенная по всей оси балки показаны на рис. 6.22, д.
6.
Используя эпюру Q t , определяем реакции опор в исходной ста-
тически неопределимой балке рис. 6.22, е.
7. Выполняем статическую проверку построения эпюр M t и Q t:
∑Y =0;
− 8,16 +14,96 + 6,8 = 0.
∑ M B=0;8,16⋅10−6,8⋅12=81,6−81,6=0.Проверки выполняются.
Пример 6.2 (продолжение).Рассмотрим задачу,когда опораBв балке по-лучает вертикальное смещение на величину ∆=2 см (рис. 6.24, а). Требуется: построить эпюры M ∆и Q ∆от смещения этой опоры.
Порядок расчета
1. Запишем каноническое уравнение метода сил:
δ
11
x∆+∆
1∆
= 0.
1
Будем использовать ту же основную систему, что и при расчете на силовое воздействие (рис. 6.24, б). В этом случае коэффициент δ11 уже найден:
δ11 =EJ6.
2. Определим грузовой вектор ∆1∆ по выражению (6.14). Здесь R – реакция опоры, которая получила смещение (т. е. опоры В) от действия x1=1.Для нахождения этой реакции строим эпюру Q1от действия x1=1.(рис. 6.24, в). Значение реакции равно скачку на этой эпюре под опорой B,
а направление (вниз) в сторону вершины излома на эп. M1 :
R =101+121=0,18333.
95
Отсюда ∆1∆= – R ∆ = – (0,18333⋅ 0,02)=
– 36,667⋅10-4. Отметим, что значе-
ние смещения опоры ∆ берется в метрах (0,02 м).
а)
A
B
C
D
EJ 1 =EJ
∆
EJ 2 = 1,5 EJ
2 м
10 м
12 м
2 м
x 1∆
x 1∆
б)
о.с.
M 1
1/10
1
в)
Q 1
R =0,1833
1/12
г)
M ∆
103,889
(кНм)
10,389
д)
Q ∆
е)
8,66
(кН)
КН
19,05 кН
КН
Рис. 6.24
3. Подставим значение ∆1∆ в уравнение метода сил:
6 x1∆−36,666⋅10−4=0,
EJ
из которого получим:
x1∆=6,111⋅10−4 EJ .
Обратим внимание, что усилия от смещения опоры (в данном случае
момент x1∆ )
прямо пропорциональны значению жесткости на изгиб EJ.
Подставим в выражение x1∆ значение жесткости (EJ=1,7⋅105
кНм2) и по-
лучим таким образом числовое значение момента над опорой B, возни-
кающего в результате кинематического воздействия:
x1∆=6,111⋅10−4⋅1,7⋅105=103,888кНм.
4. Эпюру M ∆ (рис. 6.24, г) построим умножением эпюры M1 на
полученное значение x1∆ : M ∆= M 1⋅ x1∆.
96
5. Кинематическую проверку правильности построения эпюры M ∆ выполним по выражению (6.12):
2019-08-13
336
Обсуждений (0)
