Расчет статически неопределимых систем методом сил

Выбор основных систем метода сил

Основная система (о.с.)получается из заданной статически неопре-делимой системы путем удаления лишних связей. При этом усилия в от-брошенных связях обозначаются X и являются неизвестными, относитель-но которых решается задача. Поскольку за лишние можно принять различ-ные связи системы, то для одной и той же статически неопределимой сис-темы существует множество основных систем. На рис. 6.1, б, в и рис. 6.2, б, в, г показаны варианты основных систем для статически неопределимойбалки и рамы.

Основная система, находящаяся под действием внешней нагрузки и усилий x _i , i = 1, 2, …., n, должна работать так же, как заданная, то есть пе-ремещения по направлению всех отброшенных связей должны отсутст-вовать . Из этого условия формируется система канонических уравненийметода сил:

δ₁₁ x₁+ δ₁₂ x₂+K+ δ_1n x _n +∆_1P=0;

Это же система в матричной форме выглядит следующим образом:

[D]{x}+{∆ _p }=0,где

δ₁₁

_{[ ]}      δ

_D =²¹L

Смысл i–го канонического уравнения – равенство нулю перемещение в основной системе по направлению i–й отброшенной связи от действия всех x _i , i = 1, 2, …, n и внешней нагрузки.

δ _ij – перемещение в основной системе по направлению x _i от действия силы x _i =1 (на основании теоремы о взаимности перемещений δ _ij = δ _ji)

∆_ip – грузовое перемещение, возникающие в основной системе по

79

направлению x _i от действия внешней нагрузки.

В дальнейшем будем говорить о статически неопределимых стерж-невых системах, преимущественный вид деформации которых – изгиб. Влиянием осевого сжатия – растяжения и сдвига будем пренебрегать. То-гда выражения для перемещений δ _ij и ∆_ip с использованием интеграла Мора будут следующие:

где M i - эпюра изгибающих моментов, построенная в основной системе от x _i =1; М _р – эпюра моментов от силовой нагрузки,построенная также в ос-новной системе; EJ – жесткость на изгиб.

Сформулируем требования, предъявляемые к основной системе ме-тода сил:

– основная система должна быть геометрически неизменяемой;

– основная система должна быть статически определима (хотя ино-гда и используют статически неопределимые основные системы);

– если исходная система симметрична, то и основную систему ра-ционально выбирать также симметричной;

– наиболее выгодной будет такая основная система, где наибольшее число побочных членов уравнений (6.2) равно нулю (это облегчает про-цесс решения системы уравнений);

– основную систему желательно выбирать такой, чтобы ее работа была близка к работе заданной системы. Тогда алгоритм расчета более ус-тойчив к ошибкам округления.

На рис. 6.1, б, в показано два варианта основных систем для нераз-резной балки. Наиболее рациональной будет основная система, полученная врезанием опорных шарниров (рис. 6.1, в), так как ее работа достаточно близка к заданной. Матрица коэффициентов для такой системы будет трехдиагональной; коэффициенты δ ₁₃ = δ ₃₁ =0, δ ₁₄ = δ ₄₁ =0, δ ₂₄ = δ ₄₂ =0. Для системы, показанной на рис. 6.1, б, матрица коэффициентов будет полно-стью заполненной.

Порядок расчета статически неопределимых систем на силовое воздействие

1. Определяем степень статической неопределимости системы (6.1).

2.Производим выбор основной системы. По направлению отброшен-

ных связей прикладываем силы x _i, i=1, 2, ..., n.

3. Формируем систему канонических уравнений (6.2) в общем виде.

4. Строим в основной системе единичные эпюры M i от x _i =1, грузо-вую эпюру М _p.

5. Используя выражения (6.3), определяем коэффициенты δ _ij и сво-бодные члены ∆_ip.

80

6. Решаем систему уравнений (6.2) относительно неизвестных X.

7. Строим окончательные эпюры M, Q, N по выражениям:

Иначе эпюра Q может быть построена по эпюре моментов из условия:

здесь M ^п , M ^л - моменты на правой и левой границе рассматриваемого уча-стка. Q ^б – эпюра поперечных сил в шарнирно−опертой балке от действия распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.

8. Эпюра N может быть построена по эпюре Q последовательным вырезанием узлов из условия их равновесия.

9. Производим проверку правильности построения эпюр:

т. е. перемещения по направлению всех лишних связей отсутствуют;

б) статическая проверка : любая отсеченная часть рамы, а также рама в целом должны находиться в равновесии.

Пример 6.1. Данарама,загруженная силовой нагрузкой(рис. 6.6, a).Жест-кость рамы на изгиб постоянна (EJ=const).

Требуется построить эпюры M, Q, N, используя метод сил.

О.с.