Под температурным воздействием понимается изменение температу-ры со стороны соответствующего волокна стержня.
k
Это может быть, например, неравномерный на-
k ’
грев стойки, возникающий из-за разности темпе-
t 2 = − 8°
t 1 = + 4°
ратур между наружной температурой и темпера-
турой внутри помещения. На рис. 5.13 показан
случай, когда со стороны левых волокон стойки
происходит понижение температуры на 8°, а на
Рис. 5.13
правых имеет место нагрев на 4°.
Под t- воздействием система меняет свою форму, в результате чего проис-ходит перемещение точек системы (рис. 5.13). Причем, в статически опре-делимых системах перемещения точек происходит свободно, не вызывая внутренних усилий, а изменение формы происходит только на участке, где действует температура.
Таким образом, в статически определимых системах при темпера-турных воздействиях не возникает внутренних усилий. Имеет место лишь изменение формы конструкции.
На величину этих перемещений влияют два температурных параметра:
ƒ t 0–температура на нейтральном волокне стержня.Для симмет-
ричных сечений: t0=t1+t2.Если t 0 >0имеет место удлинение оси стержня.2
При t 0 <0 – осевое укорочение.
ƒ ∆t –величина температурного перепада(берется по модулю: ∆t=|t 1 –t 2|).Если ∆t отлично от«0», то происходит искривление оси стержнявыпуклостью в сторону наибольшего значения t.
Проиллюстрируем это на примере температурного воздействия на консоль, изображенную на рис. 5.14:
а)
+10°
t 0 =10°
б)
−10°
t 0 = −10°
∆t=0°
−10°
∆t=0°
+10°
в)
−20°
t 0 =0°
г)
+20
°
t 0 = 5°
∆t=40°
−10°
∆t=30°
+20°
Рис. 5.14
а) равномерный нагрев(∆t=0°, t 0 >0)−стержень удлиняется;
б)
равномерное охлаждение(∆t=0°, t 0 <0) − укорочение стержня;
69
в) неравномерный нагрев(∆t=40°)в результате которого возникаетискривление стержня выпуклостью вниз;
г) неравномерный нагрев(∆t=30°),в результате которого возникаетискривление стержня выпуклостью вверх, и удлинение стержня (t 0 >0).
На величину перемещений при t-воздействиях влияет коэффициент линейного расширения α. Это характеристика материала, которая имеет следующий физический смысл: относительное удлинение волокна при из-менении температуры на этом волокне на 1°.
Для стали и бетона значения этого коэффициента близки между со-бой ( α = 1,25 ⋅10−5 град-1для стали и α = 1,2 ⋅10 −5 град-1для бетона), что по-зволяет объединять эти материалы в одной конструкции. Коэффициент линейного расширения железобетона принимается равным коэффициентом линейного расширения стали (1,25 ⋅10−5 град-1).
Исходя из определения параметра α величина относительного удли-нения ε при равномерном изменении температуры t (рис. 5.15) будет сле-дующей:
t=+10°
ε =∆L= α ⋅t.
t=+10°
L
L
∆L
Отсюда может быть определена величина аб-
солютного удлинения ∆L (рис. 5.15):
Рис. 5.15
∆L=α·t·L.
В случае искривления оси стержня определяется значение кривизны:
1
∆ t
χ =
= α
; где h s
− высота поперечного сечения стержня,
ρ
− радиус
ρ
h s
кривизны. Подставим эти значения в формулу (5.4) и получим выражения для перемещения точки k от t–воздействия.
∆ kt =∑ ∫N
⋅ ε ds +∑ ∫ M
⋅ χ ds =∑ ∫ N ⋅α ⋅ t0 ds +∑ ∫ M ⋅ α ∆t
ds =
___
___
h s
= ∑α ⋅ t0⋅ ω N+∑α ⋅∆t⋅ ω M, h s
где ω N i = ∫ Nds − площадь эпюры продольных сил, построенной на воз-можном состоянии (берется со знаком эпюры); ω M = ∫ M ds − площадь
эпюры изгибающих моментов на возможном состоянии. Все площади бе-рутся только на участках, подверженных температурному воздействию. В случае, если коэффициент α постоянен, выражение ∆kt будет следующим:
∆t
(5.8)
∆
kt
= α
∑ ω
⋅ t
0
⋅ +∑ω
⋅
,
N
M
h
s
70
Для определения знака у второго слагаемого строится эпюра кривизны χ. Эту эпюру можно строить без значений со стороны наибольшей темпера-туры.Если эпюра кривизны и эпюра моментов на возможном состояниипостроены на одних и тех же волокнах, знак второго слагаемого «+».
Для рамы, изображенной на рис. 5.16, а, эпюра кривизны будет вы-глядеть следующим образом: постоянное значение на стойке, которая под-вержена температурному воздействию, отложенное со стороны наиболь-
шей температуры (+4°), т. е. справа (рис. 5.16, б).
F=1
а)
б)
в)
k
t 2 = − 8°
t 1 = +4°
χ
М
Рис. 5.16
Пусть требуется определить горизонтальное перемещение точки k от t−воздействия.Эпюра М на возможном состоянии для этой задачи пока-зана на рис. 5.16, в. Так как эпюра кривизны χ и эпюра моментов на стойке
построены на одних и тех же волокнах, у слагаемого ∑
∆t
⋅ω
в этой за-
M
даче будет знак «+».
h s
Пример 5.3 .Данабалка,подверженная температурному воздействию научастке А-С (рис. 5.17). Требуется определить горизонтальное и верти-кальное перемещение шарнира k, а также угол поворота сечения, располо-женного левее шарнира. Принять: α=3·10 -5 град-1, высота сечения h s=0,25 м.
а)
A
− 6°
B
− 6°
C
D
+18°
+18°
k
3 м
3 м
3 м
6 м
4 м
4 м
б)
χ
Рис. 5.17
Решение. На рис. 5.17, а показано действительное состояние системы.Здесь же показано перемещение точек балки на этом состоянии (искривле-ние балки происходит только на участках, подверженных действию темпе-ратуры выпуклостью в сторону нижних волокон, где t-воздействие являет-ся наибольшим). Отметим, что перемещение точек балки происходит сво-
71
бодно без возникновения внутренних усилий и напряжений. На рис. 5.17, б
показана эпюра кривизны χ. Она строится со стороны наибольшего темпе-
ратурного воздействия на участке A-C.
а). Определим горизонтальное перемещение точки k. Покажем воз-
можное состояние для этого перемещения(рис. 5.18)и построим эпюру N
на этом состоянии (эпюра моментов здесь отсутствует).
F=1
3 м
3 м
3 м
6 м
4 м
4 м
1
N
Рис. 5.18
Найдем t 0
=t1 +t2 =
− 6 + 18
= 6° .Перемещение т. k по горизонтали проис-
2
2
ходит в результате удлинения стержня (t 0 > 0). Используя выражение (5.8)
получим:
u kt= α ⋅ω N⋅ t0= α ⋅(1⋅15)⋅6= α ⋅90=3⋅10−5⋅90=270⋅10−5м=0,27см.
Знак площади ω N =1·15 берется с эпюры N (в данном случае «+»). Полу-
ченное перемещение u kt имеет знак «+». Это значит, что направление пе-
ремещения совпадает с направлением силы F (слева направо).
б). Определим вертикальное перемещение
точки k.
Покажем воз-
можное состояние на этом перемещении и построим на этом состоянии
ления искомого перемещения используем выражение (5.8)
72
AB
BC
∆t
2 − 2
4 − 2
24
v kt= α ⋅(ω M
+ ω M
) ⋅
= −α
⋅ 6
+
⋅ 9
⋅
= −α ⋅824
=
h s
2
2
0,25
− 2562⋅10−5мм = −2,56 см.
Знак «минус» в этом выражении связан с тем, что площадь берется с эпю-ры моментов, расположенной выше оси балки, а эпюра кривизны располо-жена ниже оси.
Перемещение v kt имеет знак «−». Это значит , что направление пере-мещения не совпадает с направлением силы F=1, т. е. снизу вверх.
Покажемвозможное состояние на этом перемещении и построим на нем эпюру M (рис. 5.20). Используя выражение (5.8) получим:
AB
BC
∆ t
0 ,5 − 0 ,5
1 − 0 ,5
24
θ kt= α ⋅ ( ω M
+ ω M
) ⋅
= −α
⋅ 6
+
⋅ 9
⋅
=
h s
2
2
0
,25
= −α ⋅ 216 = −648 ⋅10 −5 рад.
Поворот имеет знак «минус». Это значит, что истинное направление пово-рота против хода часовой стрелки (не совпадает с направлением единично-го момента на возможном состоянии).
Самостоятельно определить вертикальное и горизонтальное перемещениеточки С от температурного воздействия на балку, показанную на рис. 5.21. Принять: α = 2·10 -5 град-1, высота сечения h s =0,4 м.
2019-08-13
714
Обсуждений (0)
