Частные случаи интеграла Мора

ГЛАВА 5. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

 

Основные понятия

 

При расчете строительных конструкций по второй группе предель-ных состояний строительными нормами ограничивается максимальное пе-ремещение их точек. Это относится, прежде всего, к конструкциям, пере-крывающим большие пролеты. Величины максимально допустимых пере-мещений f выражаются в частях от пролета L (например, 1/300-1/500 от L) в зависимости от типа конструкции и условий ее работы (рис. 5.1).

 

q

 

 

f

 

L

 

Рис. 5.1

 

 

Такая задача требует вычисления переме-щений точек системы. В этих случаях го-ворят о расчете конструкции на жест-кость.

 

Существует также целый ряд задач строительной механики, тре-бующие вычисления перемещений. Например, расчет статически неопре-делимых систем методом сил, динамический расчет и др.

 

Перемещения точек плоской стержневой системы будем обозначать буквой ∆ ( или δ) с двумя индексами ∆ _ij, где первый индекс i отмечает на-правление перемещения, а второй индекс j указывает на причину, вызы-вающую данное перемещение.

θ k		В общем случае перемещение сечения k плоской
	u k	стержневой системы ∆ K раскладывается на три со-
		ставляющих (три степени свободы): uk −горизонталь-
v k	∆ k	ная составляющая; v k − вертикальная составляющая; θ k
	Рис. 5.2	− угол поворота (рис. 5.2).

 

Укажем три основные причины возникновения перемещений:

 

– силовое воздействие;

– температурное воздействие;

– смещение опорных связей. Рассмотрим отдельно каждый случай.

 

Определение перемещений от силового воздействия

 

	q	В результате действия силовой нагрузки систе-
k	k’	ма деформируется (рис. 5.3). В общем случае имеют
		место 3 вида деформаций: а) изгиб; б)сжатие-
		растяжение;в) сдвиг.Однако сдвиговые деформации
		малы, ими можно пренебречь
	F	Остановимся на некоторых понятиях, исполь-
Рис. 5.3		зуемых в теории перемещений.

 

61

Действительное состояние –это состояние,на котором система де-формируется под действием силовой нагрузки (рис. 5.3).

Возможное (единичное) состояние–это состояние,когда система за-гружена единичным силовым фактором, приложенным по направлению ис-комого помещения.На рис. 5.4Показаны возможные состояния для опре-деления горизонтального, вертикального и углового перемещения точки k.

F=1

M=1

а)

F=1

б)

в)

k

k

k

 

Рис. 5.4. Возможные состояния при определении:

 

а) горизонтального перемещения точки k;

б) вертикального перемещения точки k;

в) поворота сечения k.

 

Методы нахождения перемещений базируются на вычислении рабо-ты сил упругой системы. Необходимо различать понятия действительной и возможной работы сил на перемещениях.

 

F ₁

 

∆ 11

 

F 2	F 1
∆ 22	∆ 12

 

 

Действительная работа –работа силы наперемещении, вызванном этой же силой. Такая работа равна половине произведе-нию силы на перемещение. Например, сила F ₁ совершает действительную работу наперемещении ∆ ₁₁.

 

Рис. 5.5

 

Выражение такой работы будет T₁₁ = ¹₂ F₁ ⋅ ∆₁₁ .

 

Например, для балки на рис. 5.5. Сила F ₂ совершает действительную работу T₂₂ = ¹₂ F₂ ⋅ ∆₂₂ .

Возможная работа −это работа силы на перемещении,вызванномдругой силой. Она равна произведению силы на перемещение. Сила F ₁ со-вершает возможную работу на перемещении ∆ ₁₂ (это перемещение вызвано силой F ₂) по выражению T₁₂ = F₁ ⋅ ∆₁₂ . Здесь первый индекс связан с его

направлением перемещения,второй указывает номер силы,вызывающейэто перемещений.

 

Для деформируемой системы следует учесть работу как внешних сил (создающих деформации), так и внутренних сил, которые сопротивляются деформациям. Работу внешних сил будем обозначать T _ij.. Работу внутрен-них − W _ij.

 

62

q	∆ =u k ds			ds
			F=1

а)	k	k’	б)	k
			F

 

Дальнейшие выводы сделаем на примере рамы , в которой требует-ся определить горизонтальное пе-ремещение точки k. Покажем действительное и возможное со-стояние рамы (рис. 5.6).

 

Рис. 5.6. Состояния рамы:

а) состояние1 (действительное состояние); б) состояние2 (возможное состояние)

 

Запишем выражение возможной работы силы F=1 возможного со-стояния (состояния 2) на перемещениях действительного состояния (со-стояния 1)

 

T 21 = F· ∆ =1· ∆ .

(5.1)

Далее определим выражение возможной работы внутренних сил состоя-ния 2 на перемещениях состояния 1.Для этого вырежем элементарный(бесконечно малый) участок рамы длиной ds. Деформации будем брать с действительного состояния,а внутренние усилия с возможного.Все уси-лия, относящиеся к возможному состоянию, обозначим подчеркиванием над символом. Будем считать, что перемещения возникают в результате деформаций изгиба и сжатия-растяжения. Тогда продольная сила будет совершать работу на удлинении (укорочении) стержня ∆ ds, а момент на угле поворота – d ϕ. Так как мы рассматриваем участок ds, это будет выра-жение элементарной работы dW _{2 1} = N· ∆ ds+M·d ϕ .

Далее выразим ∆ ds и d ϕ через ds. Так как осевая деформация стержня ε есть отношение приращения ∆ ds к первоначальной длине ds

 

(ε = ^∆ _ds ^ds ), то ∆ ds = ε ·ds.

 

d ϕ

Состояние 1                             ρ

 

ds				ds
		∆ ds

 

Состояние 2

 

N					N
							M
									ds
			ds

Рис. 5.7