Особенности расчета СНС на температурное воздействие и на смещение опорных связей

 

Расчет на температурное воздействие

 

Система канонических уравнений имеет вид

 

δ₁₁ x₁^t + δ₁₂ x₂^t +K+ δ_1n x _n ^t +∆_1t=0; δ ₂₁ x₁^t + δ ₂₂ x₂^t +L+ δ _2n x _n ^t +∆_2t=0;

 

LLLLLLLLLLLLLLL                                                                                            ^(6.9)

 

δ _n1 x₁^t + δ _{n 2} x₂^t +L+ δ _nn x _n ^t +∆ _nt =0.

 

 

83

или в матричной форме     [D ]{X ^t }+ {∆ _t }= 0 .

 

Здесь ∆ _it – перемещение в основной системе по направлению X _i ^t от дейст-

	∑ω −		+ ∑ω −		∆t
		⋅ t0		⋅			где	(6.10)
вия температуры: ∆it = α					h s	,
	N i		Mi

 

α

t 0

 

t₀

 

– коэффициент линейного расширения;

 

– изменение температуры на оси стержня, для симметричного сечения:

= ^{t1 + t2} ; ∆ t= t 1 - t 2 ; h s – высота поперечного сечения.

2

 

Окончательные эпюры M _t, Q _t и N _t строятся по выражениям:

 

M t =∑

i x i t ;Q t =∑

i x i t ; N t =∑

i x i t .

M

Q

N

(6.11)

Кинематическая проверка эпюры M t производится из условия:

M ⋅

i

∑∫

M

dx +∆it =0..

t

(6.12)

EJ

Эпюры Q _t может быть также построены по эпюре моментов, а эпюра N _t по эпюре Q _t. .

 

Расчет на смещение опорных связей

 

Система канонических уравнений имеет вид

 

δ₁₁ x₁^∆+ δ₁₂ x₂^∆+K+ δ_1n x _n^∆+∆_1∆=0; δ ₂₁ x₁^∆+ δ ₂₂ x₂^∆+L+ δ _2n x _n^∆+∆_2∆=0;

 

LLLLLLLLLLLLLLL                                                                                                    ^(6.13)

 

δ _n1 x₁^∆+ δ _{n 2} x₂^∆+L+ δ _nn x _n^∆+∆_n∆=0.

 

или в матричной форме

[D]{X ∆}+{∆∆}=0.

Здесь ∆i ∆ – перемещение в основной системе по направлению X t i от

смещения опоры на величину ∆: ∆i∆ = −

R

i ⋅ ∆ ,

(6.14)

где

i – реакция в смещающейся связи от единичной силы X i

∆ = 1.

R

Решая систему уравнений (6.13), находим неизвестные усилия X i ∆.

Окончательные эпюры M ∆, Q ∆ и N ∆.строятся по выражениям

M ∆=∑

i x i∆;

Q∆=∑

i x i∆; N ∆=∑

i x i∆.

M

N

(6.15)

Q

Кинематическая проверка эпюры M ∆ производится из условия

M ∆⋅

i

∑ ∫

M

dx +∆ i∆=0.

(6.16)

EJ

 

 

84

 

Пример 6.1 (продолжение). Рассмотрим задачу,когда имеет место темпе-ратурное воздействие на участке B-D левой стойки рамы (рис. 6.12, а). Требуется построить эпюры M _t , Q _t , N _t , используя метод сил.

 

Для расчета потребуется значение высоты поперечного сечения ра-мы на участке где действует температура (h _s). На участке B-D примем h _s =0,36м.

 

а)

б)

в)

1 м

x1t =1 x1t =1

А

B

__

3 м

+60 -120

χ

С

D

M 1

3

3

 

6 м

 

Рис. 6.12

 

Порядок расчета

 

1. Запишем каноническое уравнение метода сил

 

δ₁₁x₁^t +∆_1t=0.

 

Будем использовать ту же основную систему, что и при расчете на силовое воздействие (рис. 6.22, б). В этом случае коэффициент δ₁₁ уже определен:

 

δ₁₁ = _EJ¹⁸ .

 

2. Найдем грузовой вектор ∆_1t по выражению (6.10). Для выявления его знака построим эпюру кривизны χ (рис. 6.12, в), которая строится со стороны наибольшего значения температуры (в данном случае на левых волокнах).

∆

1t

= α (ω −

⋅

∆t

) = −α

3⋅ 3

⋅

18

= −225α,

где

∆t =

− 12 − 6

= 18

0

.

M 1

h

2

0,36

s

Выражение ∆_1t имеет знак «–», т. к. эпюра M₁ и эпюра χ расположены по разные стороны от оси рамы.

 

3. Подставим полученное значение в уравнение метода сил:

 

18	x t	− 225α = 0	,	t	=	α
EJ	1			из которого получим, что x1		12,5 EJ кНм.

 

Обратим внимание , что усилия от действия температуры прямо про-порциональны значению жесткости(в нашем примере жесткости на изгиб EJ).Зависимость от коэффициента линейного расширения α также прямопропорциональна. То есть увеличение этих параметров ведет к пропор-циональному увеличению внутренних усилий.

 

 

85

Определим значения внутренних усилий при следующих значениях коэффициента линейного расширения и жесткости на изгиб:

 

α=1,2⋅10^-5град^-1; Е=2,1⋅10⁸кН/м²(углеродистая сталь); J=55150см⁴(момент инерции для двутавра №55).

 

Тогда величина жесткости на изгиб будет следующей: EJ=2,1⋅10⁸⋅55150⋅10^-8=1,158⋅10⁵кНм².

 

Найдем числовое значение множителя α ⋅ EJ, входящего в величину x₁^t

 

α ⋅ EJ =1,2⋅10^-5⋅1,158⋅10⁵=1,39.

 

Определим неизвестное x₁ в числовом выражении:

 

∆_1t = −225⋅1,2 ⋅10⁻⁵ = −270⋅10⁻⁵          x₁^t =12,5⋅1,39=17,375кН.

 

4. Эпюру M _t на стойках (рис. 6.13, а) построим, умножив единичную

 

					M t =			1 ⋅ x1t .
эпюру	M		1 на x1t (6.15):			M
а)					б)				в)
					12,5 αEJ					12,5 αEJ

 

\

37,5 αEJ

M t

Q t

N t

37,5 αEJ

(кНм)

(кН)

(кН)

Рис. 6.13