Применение в компьютерной графике

Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютернойграфике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечениякривых (если не пересекаются выпуклые оболочки, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороныпозволяет визуализировать кривую с помощью её опорных точек. Кроме того аффинные преобразованиякривой (перенос, масштабирование, вращение) также могут быть осуществлены путём применениясоответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривыевысших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целейиспользуются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут бытьпоследовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии вместе соединения двух кривых, смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной линии. Впрограммах векторной графики наподобие Adobe Illustrator или path).

12. Моделирование на основе сплайнов. Опишите операции получения объемных форм из плоских.

Моделирование на основе сплайнов заключается в создании фигур из параметрических кривых. Кривые задаются последовательностью точек в пространстве с угловыми коэффициентами. Из замкнутых кривых линий могут быть получены тела вращения и тела выдавливания. Из незамкнутых кривых получатся только поверхности вращения и выдавливания.

Чтобы получить тело вращения из сплайна нужно указать в используемом ПО ось вращения и необходимый сплайн. Чтобы получить тело выдавливания нужно указать в используемом ПО вектор выдавливания и необходимый сплайн.

Сплайн (spline) – математически рассчитанная кривая или поверхность, плавно соединяющая отдельные точки. В Blender существует две разновидности сплайнов, а каждая разновидность имеет свои режимы. Поэтому нам будет достаточно знать, что сплайн – это кривая, плавно соединяющая точки. Мы не будем вникать в математические обоснования использования этих кривых.

Создание трехмерных объектов методом лофтинга. Для построения трехмерной модели методом лофтинга необходимо создать два сплайна. Одна трехмерная кривая определяет сечение модели, а вторая — траекторию, вдоль которой это сечение будет располагаться. Самый простои пример модели, выполненной с помощью этого метода, — картинная рама. Для ее создания нужно использовать два сплайна: прямоугольной формы и с формой уголка. Прямоугольная кривая в этом случае определяет форму рамки, а замкнутый сплайн в виде уголка — сечение. Чтобы понять, как использовать метод лофтинга, выполните модель незаточенно-го карандаша следующим образом. Создайте два сплайновых объекта — Line (Линия) и NGon (Многоугольник). Выделите объект Line (Линия). Перейдите на вкладку Create (Создание) командной панели, щелкните на кнопке Geometry (Геометрия), в ракрывающемся списке выберите строку Compound Objects (Составные объекты) и нажмите кнопку Loft (Лофтинг). Щелкните на кнопке Get Shape (Получить форму) и выделите в окне проекции шестиугольник. Основа карандаша готова. Моделирование можно завершить, поместив внутрь объекта цилиндр с небольшим радиусом, который будет играть роль грифеля.

13. Способы построения поверхностей. Математическая модель поверхности. Примеры аналитических поверхностей.

Построение с использованием преобразований

Построение нового объекта с использованием преобразований заключается в следующем:

· задается преобразуемый объект,

· задается преобразование (это может быть обычное аффинное преобразование, определяемое матрицей, или некоторое деформирующее преобразование, например, замена одного отрезка контура ломаной),

· выполнение преобразования; в случае аффинного преобразования для векторов всех характерных точек преобразуемого объекта выполняется умножение на матрицу; для углов вначале переходят к точкам и затем выполняют преобразование.

Построение кривых

Важное значение при формировании как 2D, так и 3D моделей имеет построение элементарных кривых. Кривые строятся, в основном, следующими способами:

· той или иной интерполяцией по точкам,

· вычислением конических сечений,

· расчетом пересечения поверхностей,

· выполнением преобразования некоторой кривой,

· формированием замкнутых или разомкнутых контуров из отдельных сегментов, например, отрезков прямых, дуг конических сечений или произвольных кривых.

В качестве последних обычно используются параметрические кубические кривые, так как это наименьшая степень при которой обеспечиваются:

· непрерывность значения первой (второй) производной в точках сшивки сегментов кривых,

· возможность задания неплоских кривых.

Параметрическое представление кривых выбирается по целому ряду причин, в том числе потому, что зачастую объекты могут иметь вертикальные касательные. При этом аппроксимация кривой y = f(x) аналитическими функциями была бы невозможной. Кроме того кривые, которые надо представлять, могут быть неплоскими и незамкнутыми. Наконец, параметрическое представление обеспечивает независимость представления от выбора системы координат и соответствует процессу их отображения на устройствах: позиция естественным образом определяется как две функции времени x(t) и y(t).

В общем виде параметрические кубические кривые можно представить в форме:

где параметр t можно считать изменяющимся в диапазоне от 0 до 1, так как интересуют конечные отрезки.

Существует много методов описания параметрических кубических кривых. К наиболее применяемым относятся:

· метод Безье, широко используемый в интерактивных приложениях; в нем задаются положения конечных точек кривой, а значения первой производной задаются неявно с помощью двух других точек, обычно не лежащих на кривой;

· метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой и на концах сегментов обеспечивается непрерывность первой и второй производных.

В форме Безье кривая в общем случае задается в виде полинома Бернштейна:

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой, t - параметр,

При этом крайние точки управляющей ломаной и кривой совпадают, а наклоны первого и последнего звеньев ломаной совпадают с наклоном кривой в соответствующих точках.

Предложены различные быстрые схемы для вычисления кривой Безье.

В более общей форме B-сплайнов кривая в общем случае задается соотношением:

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой, t - параметр, N_im - весовые функции, определяемые рекуррентным соотношением:

Используются и многие другие методы, например, метод Эрмита, при котором задаются положения конечных точек кривой и значения первой производной в них.

Общее в упомянутых подходах состоит в том, что искомая кривая строится с использованием набора управляющих точек.