Показательное уравнение парной регрессии

 

Показательная функция регрессии в случае парной зависимости имеет вид:

Параметры этого уравнения находят следующим образом. Сначала посредством логарифмирования проводят линеаризацию функции:

.

Затем применяют метод наименьших квадратов для нахождения оценок регрессионных коэффициентов, в результате чего получают следующую систему нормальных уравнений:

По данным примера построим показательное уравнение регрессии, описывающее зависимость размера ценных бумаг, приобретенных предприятием, от величины его нераспределенной прибыли предыдущего года.

Нераспределенная прибыль предыдущего года – .

Приобретено ценных бумаг .

Результаты расчетов поместим во вспомогательную табл. 17.

 

Таблица 17

Вспомогательная таблица

№
1	27,4	1,9	750,8	0,3	7,6	1,5	10,3	7,6729
2	31	2	961,0	0,3	9,3	1,9	7,5	7,1289
3	35	2,1	1225,0	0,3	11,3	2,6	4,2	6,6049
4	37,4	2,7	1398,8	0,4	16,1	3,1	2,3	3,8809
5	39,8	3,3	1584,0	0,5	20,6	3,8	0,8	1,8769
6	44,9	4,2	2016,0	0,6	28,0	5,6	0,8	0,2209
7	45	6,1	2025,0	0,8	35,3	5,6	0,9	2,0449
8	48,2	6,9	2323,2	0,8	40,4	7,2	6,4	4,9729
9	47,5	8	2256,3	0,9	42,9	6,8	4,6	11,0889
10	48	9,5	2304,0	1,0	46,9	7,1	5,9	23,3289
Сумма	404,2	46,7	16844,06	5,98	258,601	45,3	43,93	68,82

 

Подставляя необходимые суммы в приведенную систему, находят значения величин  а затем значения самих параметров .

По данным примера построим показательное уравнение регрессии, описывающее зависимость размера ценных бумаг, приобретенных предприятием, от величины его нераспределенной прибыли предыдущего года.

Результаты расчетов поместим во вспомогательную табл. 17.

Составим систему нормальных уравнений:

Решив систему, получим:

Откуда

Таким образом, показательное уравнение примет вид

.

Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение:

Делаем вывод о сильной зависимости признаков друг от друга.

Теоретический коэффициент детерминации

показывает, что данное регрессионное уравнение описывает вариацию зависимой переменной лишь на 63,8 %. Если сравнить это значение со значением коэффициента детерминации, полученного на основе уравнения параболы, увидим, что параболическая связь описывает данное явление намного точнее (на 88,6 %).

 

Логарифмическое уравнение парной регрессии

 

Для описания криволинейной связи помимо рассмотренных функций также может применяться логарифмическая функция. В случае парной зависимости она имеет вид

Параметры регрессии находятся из системы нормальных уравнений, полученной в соответствии с методом наименьших квадратов:

Порядок проведения расчетов продемонстрируем на данных таблицы 14. Вспомогательная таблица 17 содержит промежуточные расчеты.

Рис. 5. Зависимость объема приобретения ценных бумаг

Предприятия промышленности от величины нераспределенной

Прибыли текущего года

Таблица 18

Вспомогательная таблица

№
1	27,4	1,9	1,4	2,1	2,7	751	20 571	563 641	52	1 426	0,56
2	31	2,0	1,5	2,2	3,0	961	29 791	923 521	62	1 922	1,92
3	35	2,1	1,5	2,4	3,2	1 225	42 875	1 500 625	74	2 573	3,27
4	37,4	2,7	1,6	2,5	4,2	1 399	52 314	1 956 530	101	3 777	4,00
5	39,8	3,3	1,6	2,6	5,3	1 584	63 045	2 509 183	131	5 227	4,69
6	44,9	4,2	1,7	2,7	6,9	2 016	90 519	4 064 296	189	8 467	6,03
7	45	6,1	1,7	2,7	10,1	2 025	91 125	4 100 625	275	12 353	6,05
8	48,2	6,9	1,7	2,8	11,6	2 323	111 980	5 397 444	333	16 030	6,81
9	47,5	8,0	1,7	2,8	13,4	2 256	107 172	5 090 664	380	18 050	6,65
10	48	9,5	1,7	2,8	16,0	2 304	110 592	5 308 416	456	21 888	6,77
Сумма	404,2	46,7	15,99	25,64	76,51	16 844	719 983	31 414 944	2 052	91 713	46,8

 

Составив систему нормальных уравнений, для нашего примера получим:

Решив систему, найдем значения оцениваемых параметров:

Запишем полученное логарифмическое уравнение:

Рассчитав выровненные значения зависимой переменной, квадраты их отклонений от средней величины признака, а также квадраты отклонений эмпирических значений от среднего, определим теоретическое корреляционное отношение и теоретический коэффициент детерминации:

 

и .

Таким образом, логарифмическое уравнение регрессии описывает вариацию показателя, характеризующего объем приобретенных предприятием ценных бумаг в зависимости от величины его нераспределенной прибыли на 63,3 %.

Итак, по одним и тем же исходным данным мы построили три нелинейных уравнения регрессии. Теперь нам предстоит выбрать «лучшее» уравнение.

 

Таблица 19

Вспомогательная таблица

Номер

Предприятия