Гиперболическое уравнение парной регрессии

Гиперболическая зависимость имеет место, если связь между признаками обратная. Однако обратная связь может описываться и линейным уравнением с отрицательным значением коэффициента регрессии. Проанализировав расположение точек на корреляционном поле, можно выяснить, к какому типу зависимости больше всего тяготеют эмпирические данные, и выбрать окончательный вид уравнения. При выборе гиперболы также следует помнить, что в этом случае факторный признак не сможет принимать нулевое значение. Если данный факт не устраивает исследователя, нужно остановиться на обратной линейной зависимости.

Уравнение гиперболы при парной зависимости между признаками имеет вид:

Если значения результативного признака  уменьшаются при увеличении факторного признака , параметр  будет иметь положительное значение, если значения  увеличиваются при увеличении , – отрицательное. При этом и уменьшение значений , как в первом случае, и их увеличение, как во втором, будут постепенно замедляться, и при неограниченном росте значений  средняя величина результативного признака  будет сколь угодно мало отличаться от значения свободного члена уравнения , т.е. при х →  → .

Гиперболические связи часто встречаются при анализе экономических явлений. Примером может являться зависимость между объемом производства продукции и ее себестоимостью. Как правило, с увеличением размера выпуска продукции себестоимость единицы продукции уменьшается, но до определенного предела, после которого все большее увеличение объема выпуска уже не приводит к уменьшению затрат, составляющих себестоимость.

Применение метода наименьших квадратов для оценки параметров гиперболы в случае парной зависимости приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Пример 2

Известны данные по 10 предприятиям промышленности об объеме произведенной продукции определенного вида и ее себестоимости. Между признаками имеется обратная зависимость, предположительно гиперболическая, что подтверждается специфическим расположением точек на корреляционном поле (рис. 6).

Рис. 6. Корреляционное поле

Построим гиперболическое регрессионное уравнение и определим среднюю ошибку аппроксимации. Данные промежуточных расчетов поместим во вспомогательную таблицу 20.

Таблица 20

Номер предпр.	Объем произведенной продукции А , млн. шт .	Себестоимость единицы продукции А , руб .
1	0,36	1,57	2,78	7,72	4,36	1,47	0,10	6,38
2	0,41	1,45	2,44	5,95	3,54	1,40	0,05	3,76
3	0,38	1,3	2,63	6,93	3,42	1,44	0,14	10,60
4	0,49	1,29	2,04	4,16	2,63	1,31	0,02	1,38
5	0,56	1,25	1,79	3,19	2,23	1,25	0,00	0,14
6	0,8	1,11	1,25	1,56	1,39	1,13	0,02	2,16
7	1,24	1,06	0,81	0,65	0,85	1,04	0,02	2,22
8	1,78	1	0,56	0,32	0,56	0,98	0,02	1,74
9	1,69	0,98	0,59	0,35	0,58	0,99	0,01	0,94
10	2,3	0,95	0,43	0,19	0,41	0,95	0,00	0,50
Итого	10,01	11,96	15,32	31,01	19,9806	11,96	0,39	29,8

Для определения оценок параметров гиперболы составим систему нормальных уравнений:

Откуда находим значения  = 0,859  и  = 0,22. Таким образом, искомое уравнение гиперболы имеет вид:

Рассчитаем выравненные значения зависимой переменной ( ) и определим среднюю ошибку аппроксимации (табл. 20).

Величина средней ошибки аппроксимации не превышает 12-15 %, значит, полученное уравнение достаточно адекватно описывает рассматриваемое явление.

Степень практической значимости модели определим с помощью расчета теоретического коэффициента детерминации (см. табл. 21).

Таблица 21

Номер предприятия	x		Выравненные значения
1	0,36	1,57	1,47	0,0750	0,1399
2	0,41	1,45	1,40	0,0398	0,0645
3	0,38	1,3	1,44	0,0584	0,0108
4	0,49	1,29	1,31	0,0125	0,0088
5	0,56	1,25	1,25	0,0031	0,0029
6	0,8	1,11	1,13	0,0038	0,0074
7	1,24	1,06	1,04	0,0255	0,0185
8	1,78	1	0,98	0,0455	0,0384
9	1,69	0,98	0,99	0,0428	0,0467
10	2,3	0,95	0,95	0,0582	0,0605
Итого	10,01	11,96	11,96	0,39	0,4

Тогда теоретический коэффициент детерминации равен:

 =  = 0,981

т.е. полученное уравнение описывает вариацию зависимой переменной с достаточно высокой точностью – 98,1 %.

Пошаговая регрессия

При построении множественной регрессии часто возникает проблема отбора факторных признаков . Для ее решения в теории созданы особые процедуры, в том числе и так называемые пошаговые методы регрессии, подразделяющиеся на две группы: пошаговая регрессия с включением независимых переменных  и пошаговая регрессия с исключением независимых переменных .

При реализации метода пошагового включения на первом шаге строится уравнение регрессии с одной переменной, имеющей максимальный по абсолютной величине парный коэффициент корреляции с результативным показателем:

На втором шаге в модель вводится переменная, имеющая наибольшее по абсолютной величине значение частного коэффициента корреляции с зависимой переменной при фиксированном влиянии ранее введенной переменной:

О целесообразности введения в модель дополнительного фактора судят, определяя, насколько уменьшилась в результате этой операции остаточная дисперсия, и увеличилось значение коэффициента детерминации. Если коэффициент множественной детерминации увеличился незначительно и, следовательно, остаточная дисперсия не претерпела существенных изменений, ввод нового фактора признается нецелесообразным.

Процедура включения факторов в модель повторяется до тех пор, пока число объясняющих переменных  либо не достигнет предельно допустимого значения (их должно быть в три-четыре раза меньше, чем количество наблюдений), либо не перестанет значительно меняться остаточная дисперсия при введении новых факторов.

При реализации метода пошагового исключения сначала строят уравнение со всеми переменными, а затем независимые переменные исключаются из анализа по одной на каждом шаге до достижения модели лишь с теми переменными, которые наиболее значимы для регрессии. Следует учесть, что обе описываемые процедуры могут давать разный конечный набор независимых переменных .