Метод средних величин.

В любой совокупности экономических явлений или субъектов наблюдаются различия между отдельными единицами этой совокупности. Роль средних величин, таким образом, заключается в обобщении, т.е. замене множества индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Средняя величина обобщает качественно однородные значения признака и, следовательно, является типической характеристикой признака в данной совокупности.

Существует несколько видов средних величин.

1) Средняя арифметическая простая (не взвешенная).

Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

 

(25)

 

где х – показатель;

n – количество показателей в совокупности.

Пример 1.14. Рассчитать средние показатели (табл. 15).

Таблица 15

Данные для расчета

Квартал	1	2	3	4
Выручка от реализации, тыс. руб.	520	530	525	535

Найти среднее значение объемов реализации за четыре квартала.

Количество значений равно 4 (4 квартала).

 

 

Арифметическая средняя – среднеквартальное значение объема реализации равна 527500 руб.

2) Средняя арифметическая взвешенная.

При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться (встречаться по несколько раз). В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам. Зависимость для определения средней арифметической взвешенной для дискретного вариационного ряда имеет вид:

 

(26)

где wi – вес (частота) i-го признака.

 

Пример 1.15.По исходным данным дискретного вариационного ряда рассчитать среднюю арифметическую взвешенную.

Таблица 16

Данные для расчета

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи акций
1	500	1080
2	300	1050
3	1100	11454

Определим среднюю арифметическую взвешенную:

 

 

3) Средняя гармоническая. Показатель используется в случаях, когда необходимо, чтобы при усреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

Формула расчета средней гармонической:

 

(27)

Пример 1.16. Рассчитать среднюю гармоническую (табл. 17).

Таблица 17

Данные для расчета

Область	Валовой сбор, тыс. т	Урожайность ц/га
Белгородская	97,0	16,1
Воронежская	204,0	9,5
Курская	0,5	4,8
Липецкая	16,0	10,9
Тамбовская	69,0	7,0

В общем случае средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, крестьянским хозяйствам и. т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

 

(28)

 

где  – средняя урожайность;

ВС – валовый сбор, тыс.т.;

S – валовая посевная площадь.

Общий валовой сбор определяется суммированием валового сбора по областям. Однако данные о посевных площадях в явном виде в таблице отсутствуют. Их косвенно можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. Тогда определим искомую среднюю, предварительно переведя тонны в центнеры.

 

 

Средняя гармоническая взвешенная используется в тех случаях, когда известен числитель исходного соотношения средней, но не известен знаменатель.

Общая зависимость для определения средней гармонической взвешенной имеет вид:

 

(29)

4) Средняя геометрическая:

 

(30)

Пример 1.17. В 2018 году объем реализации компании вырос на 40 % по сравнению с 2017 годом, в то время как объем реализации другой компании – на 50 %. Выручка от реализации первой компании выражена как 140 %, а второй как 150 %. Если все другие факторы для обеих компаний одинаковы, то можно использовать геометрическую среднюю.

Средний темп роста за предыдущий год между двумя фирмами составил 144,9 % или объем реализации в среднем вырос на 44,9 %.

В экономическом анализе широко используется также средняя хронологическая. Для характеристики предприятия применяются интервальные и моментные показатели. Для усреднения интервальных показателей чаще всего используется формула средней арифметической, а для усреднения моментных показателей как раз и применяется формула средней хронологической.

Если дан ряд моментных показателей: x₁... х_п, то средняя хронологическая для этого ряда рассчитывается по формуле:

 

(31)

 

Пример 1.18. Рассчитать среднегодовую стоимость основных производственных фондов (табл. 18).

Таблица 18

Данные для расчета

период	01.01	01.04	01.07	01.10	31.12
Стоимость основных средств, руб.	587612	630544	691406	601417	623540

 

 

2. Элементарные методы обработки расчетных данных.

При изучении совокупности значений изучаемых величин, помимо средних, используют и другие характеристики. При анализе больших массивов данных обычно интересуются двумя аспектами: во-первых, величинами, которые характеризуют ряд значений как целого, т.е. характеристиками общности, во-вторых, величинами, которые описывают различия между членами совокупности, т.е. характеристиками разброса (вариации) значений.

Середина интервала возможных значений x_i рассчитывается по формуле:

 

(32)

 

Мода – такое значение изучаемого признака, которое среди всех его значений встречается наиболее часто. Если чаще других встречаются два или более различных значений, такую совокупность данных называют бимодальной или мультимодальной. Если же ни одно из значений не встречается чаще других (т.е. если все значения встречаются по одному разу или равное количество раз), такая совокупность является безмодальной.

Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем – значение модальной величины признака по формуле:

 

(33)

где  M₀ – значение моды;

x₀ – нижняя граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_m – частота модального интервала;

f_m–1  – частота интервала, предшествующего модальному;

f_m+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример 1.19.Определить моду по доходу за период (табл. 19).

Таблица 19

Данные для расчета

Доход за период, (руб.)	Объем реализации (тыс. руб.)
2000-2500	100,0
3000-3500	120,0
3000-3500	150,0
2500-3000	130,0
2200-2700	100,0

Классы (категории дохода за период) ранжированы так, что наиболее часто встречающееся значение находится в середине. Это модальный класс. Поскольку каждый класс должен иметь постоянный интервал, данный необходимо разбить на два класса 3,000 – 3,500; класс, где частота больше, был выбран модальным.

Интервал класса составляет 500. Нижний предел модального класса – 3000, разница между нижней и верхней частотами равна 30 (150,0 – 120,0).

Послемодальный класс – это величины 2500 – 3000, а разница между нижней и верхней частотами равна 20 (150,0 – 130,0).

 

 руб.

 

Значение модального дохода равно 3300 руб.

Медиана – это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

 

(34)

 

где n – число признаков в совокупности.

 

В случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков, находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем – значение медианы по формуле:

 

(35)

 

где М_е – медиана;

x₀ – нижняя граница интервала, который содержит медиану;

h – величина интервала;

сумма частот или число членов ряда;

сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;

частота медианного интервала.

Пример 1.20. Рассмотрим данные по категориям объема реализации и количеству организаций в каждой категории (табл. 20).

Таблица 20

Данные для расчета

Реализация, тыс. руб.	Количество организаций	Кумулятивная частота
0-199	40	40
200-299	60	100
300-399	100	200
400-499	100	300
500-599	100	400
600 и выше	80	480
	480

Классовые интервалы – это пределы объема реализации в левой колонке.

Количество организаций в каждом классе – это частота (средняя колонка). В правой колонке находятся кумулятивные частоты; к каждой новой частоте добавляется сумма предыдущих. Классом медианы является 400 – 499, потому что средний показатель в колонке. Его средний предел – 400, а интервал – 100. Кумулятивная частота до класса медианы – 200, а общая кумулятивная частота (общее количество во всех классах) равна 480.

Медиана реализации для этого ряда равна 440000 рублей.

В качестве показателей размаха и интенсивности вариации показателей чаще всего используются следующие величины: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднеквадратическое отклонение, дисперсия и коэффициент вариации.

Размах вариациирассчитывается по формуле:

 

(36)

Среднее линейное отклонение(средний модуль отклонения) от среднего арифметического исчисляется по формуле:

 

(37)

Если используются весовые коэффициенты, то формула средневзвешенного линейного отклонения имеет вид:

 

(38)

где w _i – частота, с которой в совокупности встречается значение x_i.

Пример 1.21. Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения по исходным данным, приведенным в табл.21.

Таблица 21

Данные для расчета

Стоимость основных фондов на одного работника, тыс. руб.	Доля фирм, % к итогу
0,5	7,8	3,9	6,16	48,048
1,5	12,2	18,3	5,16	62,952
2,5	14,9	37,25	4,16	61,984
4	23,3	93,2	2,66	61,078
7,5	24,3	182,25	0,84	20,412
15	10,6	159	8,34	88,404
25	6,9	172,5	18,34	126,56
Итого	100	666,4		470,324

Алгоритм расчета среднего взвешенного линейного отклонения.

1. Находим произведение стоимости основных фондов на одного работника на долю фирм, в итоге получаем значение 666,4.

3. Рассчитываем среднее значение показателя по формуле средней арифметической взвешенной:

 

 

4.Определяем значение величины .

5.Рассчитываем произведение , в результате получим значение 470, 324.

6. Рассчитываем взвешенное среднее линейное отклонение:

 

 

Данное значение означает, что стоимость основных средств, приходящихся на одного работника, отклоняется от среднего значения, равного 6,664 тыс. руб., на 4,7 тыс. рублей.

Среднее линейное отклонение позволяет определить обобщенную характеристику колеблемости признака в совокупности, однако при его исчислении приходится иметь дело с модулями алгебраических выражений, что при упрощенных конечных выражениях может приводить к ошибкам и неточностям.

Полученная при этом мера вариации называется дисперсией (d), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением.

Дисперсия – средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Рабочие зависимости для расчета дисперсии имеют вид:

а) простая дисперсия для не сгруппированных данных:

 

(39)

 

б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда:

 

(40)

 

Более удобно использовать показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений. Наиболее удобной характеристикой является среднеквадратическое отклонение.

а) простое среднеквадратическое отклонение для не сгруппированных данных:

(41)

б) взвешенное среднеквадратическое отклонение для интервального вариационного ряда:

 

(42)

Среднеквадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение признака. Величина среднеквадратического отклонения, как следует из ее определения, зависит от абсолютных значений самого изучаемого признака. Чем больше величины x_i, тем больше будет σ. Поэтому для сравнения рядов данных, отличающихся по абсолютным величинам, вводят коэффициент вариации:

 

(43)

 

Этот коэффициент является показателем "количественной" неоднородности совокупности данных. Критическое значение его считается равным 33 %. Если Vа r > 33%, то совокупность нельзя признать однородной.

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды относительных показателей бывают?

2. В чем выражены относительные показатели динамики и структуры?

3. Что такое сравнение?

4. Что относится к классическим методам экономического анализа?

5. В чем заключается сущность факторного анализа?

6. Типы связи между факторами?

7. В чем заключается способ цепной подстановки?

8. Что такое мода?

9. Что такое медиана?