Линейные операции над матрицами.

Методические указания и контрольные задания для специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, заочная форма обучения

Мончегорск, 2018

Составитель – Кулдыркаева Инна Анатольевна, преподаватель ГАПОУ МО «МонПК».

Методические указанияи контрольные заданияпредназначены для студентов специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы заочной формы обучения. Содержат краткие теоретические сведения, примеры решений задач и задания для контрольных работ.

 

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин ГАПОУ МО «МонПК» (протокол № __ от __.__.2018).

Председатель _____________________ ______________________

 

Содержание.

Введение. 4

Правила выполнения и оформления контрольных работ. 5

ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. 7

ТЕМА 2. ФУНКЦИИ. 16

ТЕМА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 17

ТЕМА 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 19

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 23

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 31

Тема 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 35

Тема8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 41

Тема 9. РЯДЫ. 48

Тема 10. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 61

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. 65

Литература. 72

 

Введение.

Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом специальности среднего профессионального образования 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» по дисциплине «Элементы высшей математики». Предлагаемые методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения для организации самостоятельной работы.

Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. Данные методические указания содержат краткие теоретические сведения в объеме, позволяющем получить представление о содержании тем курса. По каждой теме приведены примеры решения задач, ознакомившись с которыми, студент сможет выполнить контрольные задания. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.

Правила выполнения и оформления контрольных работ.

 

Вариант каждой задачи выбирается по последней цифре номера зачетной книжки.

При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы (приложение 1)на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

8. Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

9. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

10.  При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.

Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

 

Матрицей А=||a_ij || размера n´m называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица,  - элемент матрицы,  номер строки, в которой стоит данный элемент,  номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1.           

2.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

 

 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

Линейные операции над матрицами.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Если Е – нулевая матрица, то А + Е = Е + А = А

Пример.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

Пример.

. Тогда

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности  называется матрица С размерности , каждый элемент которой  определяется формулой:  Таким образом, элемент  представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример.

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет  Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если А  = А = Е.

Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.