Каноническое разложение случайного процесса

Каноническим разложением случайного процесса Х( t ) называется выражение вида:

(формула 3.9)

В этом выражении т_х( t )= М [X ( t )] представляет собой математическое ожидание  случайного процесса X ( t ) V ₁ , V ₂ , V ₃ ,….. V_k некоррелированные, центрированные случайные величины с дисперсиями D ₁ ….. D_k , φ₁( t )….φ _k( t ) неслучайные функции аргумента t

Выражение (3.9) мож­но переписать в виде:

где :

(формула 3.10)

где X ⁰ ( t ) центрированный случайный  процесс, а выражение (3.10) представляет собой каноническое разложение центрированного случайного процессаX ⁰ ( t ).

Случайные величины V ₁ , V ₂ , V ₃ ,….. V_k будем называть коэффициентами канонического разложения, а не­случайные функции φ₁( t )….φ _k( t )координат­ными функциями канонического разложения.

Найдем характеристики случайного  процесса Х( t ), заданного своим каноническим разложением. При фиксированном ар­гументе t выражение (3.9) представляет собой ли­нейную функциюслучайных величин V ₁ , V ₂ , V ₃ ,….. V_k а значит следовательно,

 

но по условию случайная  величинаV_k  является центрированной

М[ V_k ] = 0, следовательно, по этому

(формула 3.11)

зафиксируем два момента времени t и t' и найдем ковариацию случайных величин X ( t ) и X ( t ' ), т. е. корреляционную функцию случайного процесса X ( t )

подставим в это выражение разложение центриро­ванного случайного процесса

по теореме сложения математического ожидания  знак суммы и знак математического ожидания можно менять местами, а неслучайные множители φ _k ( t )  и φ _n ( t ')  можно вынести за знак математического ожидания 

 

Так как случайные величины не коррелированы то при одинаковых значениях k = h  получим что:

Следовательно, корреляционная функция случайного процесса Х( t ) , заданного своим каноническим разложением (3.9), имеет следующий  вид:

(формула 3.12)

 

Выражение (3.12) называется каноническим разло­жениемкорреляционной функциионо пред­ставляет собой сумму произведений координатных функций (при аргументах t и t ' и дисперсий D _k .

Таким образом, мы доказали, что если случайный процесспредставлен своим каноническим разложением, то его корреляционная функция выражается канониче­ским разложением корреляционной функции.

Дисперсия случайного процесса Х( t ) заданного своим канониче­ским разложением равна значению корреляционной функции при равенстве ее аргументов:

(формула 3.13)

Выражение (3.13) будем называть каноническим разложениемдисперсии случайного процесса   X ( t ), оно представляет собой сумму произведений квадратов координатных функций и дисперсий D_k .

Нормирован­ная корреляционная функция случайного процесса X(t) представлен­ного своим каноническим разложением  будет иметь следующий вид

 

(формула 3.14)

 

Таковы основные характеристики случайного процесса, представленного своим каноническим разложением. Отметим три обстоятельства, связанные с ка­ноническими разложениями.

Во-первых, каноническое разложение случайного процесса X(t) можно получать множеством способов. Известно, что функцию х(t) можно разложить в обобщенный ряд Фурье

где на функции φ _k ( t ) накладываются определенные ограничения (они должны быть ортогональны и нор­мированы). Но такие функции φ _k ( t ) можно получить различным образом.

 

Во-вторых, каноническое разложение ни­чего не говорит о том, какой одномерный, двумер­ный, ..., n-мерный закон распределения имеет случайный  процесс X(t). Одно и то же каноническое разложение может иметь различные законы распределения, так как случайные  величины V ₁ , V ₂ , ..., V_k, могут быть распределены по раз­ным законам.

В-третьих, практические способы построения кано­нического разложения должны основываться на статистических данных о случайном процессе. Обрабатывая такие статистические данные, получаем оценки для математического  ожидания  и корреляционной функции случайного  процесса  X ( t ):  m_x ( t ) , R _x ( t , t ') Имея эти оценки, можно найти аналитическое прибли­жение корреляционной  функции

 

По аналитическому приближению можно функцию двух аргументов    K_x ^{( a )} ( t , t ') разложить в двойной ряд Фурье и найти координатные функции и дисперсии коэффициентов канонического разложения.

Замечание. Особо отметим, что двумерный за­кон распределениянормального случайного процессаX ( t ) является его исчерпывающей характеристикой, так как все характеристики i-мерного закона распределе­ния ( i =1,2,3...) зависят только от двух функций m_x ( t ) и K_x ( t , t ') Кроме того, случайный  процесс  Х( t ) будет  являться марковским процессом.

До сих пор рассматривалось каноническое разло­жение случайного процесса, которое можно построить для ряда дискретных точек, получаемых при разло­жении случайного процесса на конечном интервале (-Т,+Т). Если же интервал Т устремить в бесконечность то этот ряд дискретных точек сольётся в прямую. При этом каноническое разложе­ние случайного процесса Х( t ) перейдет в интегральное каноническое представление.

Запишем каноническое разложение случайного  процесса  X ( t ) в виде:

(формула 3.15)

Пусть   действительная переменная, принадлежа­щая некоторой области ; обозначим  длину каждого из элементарных участков, на которые равномерно разбивается данная область. Тогда выражение (3.15) можно переписать в виде:

 

 

(формула 3.16)

Очевидно, что при неограниченном увеличении интер­вала Т,  на котором рассматривалось каноническое разложение значение величины  стремится к нулю, а отношение  будет представлять собой некоторую случайную функцию непрерывного аргу­мента :

(формула 3.17)

При этом функция  двух аргументов (дискрет­ного  и непрерывного t) станет функцией двух непре­рывных аргументов  и t

(формула 3.18)

а сумма в (3.16) преобразуется в интеграл по об­ласти

(формула 3.19)

Последнее выражение называется интегральным каноническим представлением случайного процесса X ( t ).

Каноническому разложению (3.15) соответствует каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса  Х( t )

(формула 3. 20 )

 

где

 

Так как отношение представляет собой ту часть дисперсии, которая приходится на значение , отнесенное к длине элементарного интервала , то формулу (3.20) можно переписать в виде

(формула 3. 2 1)

Введем обозначение

 

 

(формула 3. 2 2)