Обратная задача формулируется следующим образом:

из­вестны характеристики (или законы распределения) случайного проце c са   X ( t ) на входе в систему S ; заданы требования к характеристикам (или законам распределения) случайного процесса Y ( t ) на выходе системы S ; требуется определить вид оператора At системы S , наилучшим образом удов­летворяющий заданным требованиям к случайному  процессу Y ( t ) .

Необходимо отметить, что решение прямой задачи намного проще, чем обратной. Решение обратной задачи находит широкое применение при проектирова­нии различных технических устройств, так как оно дает возможность обосновать требования к оператору At системы S. Другими словами, решение обратной задачи дает возможность сформулировать требования к проектируемому техническому устройству.

В соотношении (3.27) есть три элемента: вход­ное воздействие на систему Х( t ), оператор At и реак­ция системы Y ( t ). Если известны какие-либо два эле­мента, можно определить третий:

1. зная характери­стики входного воздействия X ( t ) и оператор системы At можно определить характеристики реакции си­стемы Y ( t ) (прямая задача);

2. зная характеристики входного воздействия X ( t ) и требования к характе­ристикам реакции системы Y ( t ), можно определить оператор системы At (обратная задача)

3. зная характеристики реакции системы Y ( t ) и оператор системы Atопределить характеристики вход­ного воздействия X ( t ).

4. Модификацией обратной задачи является задача идентификации оператора системы At, которая ставится следующим образом: зная характеристики входного воздействия X(t) и характеристики реакции системы Y ( t ) , определить оператор системы At, т. е. найти различные параметры, определяющие оператор системы At.

Преобразование векторного случайного процесса X ( t ) размерности n можно символически записать так

(формула 3.2 8 )

Другими словами, i-я составляющая Y i ( t ) векторного случайного процесса Y ( t ) получается в результате преобразования оператором А _t ^{( i )}векторного случайного процесса X ( t ) ( i = l , 2, .... k ).

Пример такого преобразования может быть сле­дующий:

(формула 3.2 9 )

Перейдем к анализу различных операторов. Все множество операторов А можно разделить на два непересекающихся подмножества L и N .  ,

Подмножество L состоит из линейных операторов, а подмножество N из нелинейных опе­раторов. В свою очередь, подмножество линейных операторов L можно разделить на два непересекающихся подмножества:

 L о -линейных однородных опе­раторов

и

L_H-линейных неоднородных операторов

Рисунок 3.3

Оператор L_o называется линейным однородным, если он обладает следующими двумя свойствами:

1. Линейный однородный оператор от суммы функций равен сумме линейных однородных опера­торов от каждой функции, входящей в сумму:

(формула 3.30)

Другими словами, знак линейного однородного опера­тора L_o и знак суммы можно менять местами.

2. Постоянную величину (не зависящую от пере­менной, по которой проводится преобразование) мож­но выносить за знак оператора L_o :

(формула 3.31)