Моделирование динамики пассажиропотока

Величину объема перевезенных пассажиров важно знать для построения многих транспортных моделей. Обычно пассажиропоток изучается на протяжении выбранного отрезка времени. Процесс развития экономического показателя во времени называют динамикой, отображая рядами динамики (временными рядами). Известны методы анализа динамики пассажиропотока:

1. Алгоритмический метод «Гусеница» (применяют специальное программное обеспечение). Интерпретировать результаты вычислений без необходимого опыта и специальных знаний достаточно сложно. К тому же нельзя получить функцию, описывающую временной ряд пассажиропотока.

2. Кусочно-линейная аппроксимация. Громоздкая операция из-за большого объема вычислений.

3. Гармонический анализ. Получено достаточно хорошее приближение, позволяющее выявить природу процесса:

Z(t) = Z_o+ Z_c(t)+ Z _н (t)+ Z _м (t),                       (12)

где Z_o – среднегодовое значение объема перевозки в единицу времени;

Z_c ( t ), Z _н ( t ), Z _м ( t ) – соответственно суточные, недельные и сезонные составляющие колебаний объемов перевозок.

,         (13)

где b _{1, j} , b _{3, j}, a _{1, j} , a _{3, j} – коэффициенты многочлена Фурье;

c _{2, j} – коэффициент степенного многочлена i-й степени;

h _{1, 3} – порядок многочлена Фурье;

h ₂ – порядок степенного многочлена;

t – текущее значение календарного времени от начала года в часах;

24, 168, 2184 – периоды колебаний объемов перевозки в единицу времени (часовой интервал), соответственно суточный, недельный и сезонный.

4. Тригонометрическая интерполяция зависимости средней интенсивности прибытия пассажиров на ОП в часы пик от времени:

где р – число точек интерполяции;

i – номер гармоники разложения;

t – порядковый номер точки интерполяции;

A_i, B_i – коэффициенты гармоник разложения, вычисляемые по методу наименьших квадратов.

Ю.В. Кривошеенко установил, что в часы пик потоки прибывающих на ОП пассажиров являются нестационарными. По исследованиям других авторов, в пределах 15-минутных интервалов их можно считать стационарными, как и в межпиковые периоды внутри часа, т.е. имеющими постоянную интенсивность.

Методами 3 и 4 трудно предсказать влияние случайного фактора. Поэтому в моделях игнорируют случайную составляющую. Проблемно учесть и регулярно повторяющееся влияние кратковременных факторов (оно будет «размазано» на весь рассматриваемый временной ряд). Между тем каждый уровень ряда динамики у _i формируется под воздействием множества факторов, которые могут формировать компоненты:

1) тенденцию ряда T(t);

2) циклические и сезонные колебания ряда C(t) и S(t);

3) случайные факторы χ(t):

                     (15)

где а _i – коэффициенты.

Воздействия эволюционного характера определяют общее направление развития процесса – тренд. Циклические колебания в социально-экономических процессах соответствуют циклам конъюнктуры. Сезонные колебания периодически повторяются в определенные моменты каждой части процесса.

Пассажиропоток ГПОТ в России в начале XXI века имеет тенденцию снижения, обусловленную уменьшением численности населения, отменой большого количества льгот проезда и «авто-бумом». Колебания носят циклический и сезонный характер (значение объема перевозок изменяется в течение суток, недели, сезона, года). Отраслевые циклы ГПОТ обусловлены производственными циклами (началом и окончанием рабочих смен, совпадением у большинства трудоспособной части населения будних и выходных дней, массовыми отпусками и каникулами, большим использованием немаршрутизированного транспорта в летний сезон и др.). Доля случайной компоненты в описываемом процессе может быть весьма велика по сравнению с детерминированной составляющей. Так, на амплитуду гармоник могут влиять: ненормированный, вахтовый, сменный график работы учреждений с нерегулярной периодичностью, проведение распродаж, культурно-массовых и иных общественных мероприятий, резкое изменение погоды, массовые увольнения в связи с закрытием предприятий, уровень качества поездки, уровень занятости, скачки доходов пассажиров. При построении модели следует учитывать и влияние неизвестных аналитику факторов. Измерить динамику фактора неопределенности и найти упорядоченность в его нерегулярности призвана теория хаоса.

5. Фрактальные методы.

Фракталами, как инструментом теории хаоса, удобно описывать нелинейные динамические системы, к которым относится и система ГПОТ. Фрактал означает самоподобие системе меньших ее частей. В искусственных фракталах части подобны целому. В природных и социально-экономических – элементы, как правило, не являются точной уменьшенной копией системы. Фрактальные ряды динамики качественно самоподобны во времени, т.к. в разных его масштабах имеют одинаковые статистические характеристики. Э. Петерс отмечает, что классическая геометрия не может предсказать поведение временного ряда, если структура его не случайное блуждание. Обычно число факторов влияния на систему (степеней свободы) очень велико. Фрактальная геометрия, описывая заполнение временным рядом пространства, выражает итог всех факторов влияния на систему, порождающих этот ряд.

В открытых системах, к которым относятся экономические, малый сигнал на входе может привести к какому угодно отклику на выходе. В неравновесных состояниях очень слабые воздействия могут привести систему к качественному (скачкообразному) изменению. Только в процессах с достаточной долей случайности возникает различие между прошлым и будущим ‑ необратимость. Нестационарные, односторонне направленные во времени процессы являются особенностями, присущими открытым системам. Под влиянием угрожающих ее структуре воздействий система, находящаяся в неравновесном состоянии, достигает точки бифуркации, в которой невозможно предсказать ее будущее состояние. После выбора остатками системы пути развития наступает детерминизм (до следующей точки бифуркации, момент возникновения которой неизвестен).

В неслучайном временном ряде (фрактале) скачки данных соответствуют скачкам влияющих факторов, отражая присущую им корреляцию. Положение любой точки ряда динамики определено корреляциями и местом расположения всех предыдущих точек. Это означает наличие у любой точки ряда долговременной (не марковской) памяти. Чем больше отдалена точка от рассматриваемой, тем влияние ее слабее.

Одним из методов, применяемых для анализа фрактального ряда, является метод нормированного размаха:

где а и Н (0 ≤ Н ≤ 1) – некоторые константы для конкретного процесса, показатель Херста Н определяет наклон аппроксимирующей прямой фрактальной линии к оси абсцисс;

R ( t ) – накопленный размах за t интервалов времени;

S ( t ) – среднеквадратическое отклонение.

Возможны случаи:

А. 0 ≤ Н < 0,5 – ряд антиперсистентный (эргодический). Такой тип называется «возврат к среднему»; за предыдущим периодом роста, скорее всего, последует период спада и наоборот. Чем больше приближается Н к нулю, тем ближе С к 0,5, а ряд более волатилен (изменчив).

В. Н = 0,5 – отклонения уровня ряда от среднего случайны, события не коррелированны («белый шум»). Настоящее не оказывает влияния на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, но не обязательно.

С. 0,5 ≤ Н < 1 – ряд персистентный (трендоустойчивый). Накопление отклонений приводит к появлению долговременной тенденции. Чем ближе к 0,5, тем тренд меньше и больше шум (кривая более «зазубренная» и менее гладкая). С приближением Н к 1 растут сила персистентности (100 % корреляция) и низкочастотный шум, приводящий к большим отклонениям амплитуды. Данный класс рядов является наиболее распространенным.

Преимущество данного метода в том, что он не содержит требования к лежащему в его основе распределению, т.к. является непараметрическим.

Классическая статистика и стандартная эконометрика предполагают нормальность рядов и инвариантность их ко времени. Херст, Мандельброт, И. Пригожин и др. авторы и последователи теории нелинейной динамики и хаоса, сокрушили эти постулаты, изучив большое количество рядов динамики в биологии, медицине, на фондовом рынке и других областях наук. Структура рядов, состоящих из тысяч значений, подтверждает включение «стрелы времени».

Показатель Хёрста широко применяют по причине его устойчивости при минимуме предположений об изучаемой системе. Он позволяет различать случайный и не случайный ряды, даже если последний не гауссовский. Х. Хёрст показал, что большинство естественных явлений имеют характер смещенного случайного блуждания – тренда с шумом. Показатель Хёрста выражает отношение силы тренда к уровню шума (детерминированного фактора к случайному), которое оценивают тем, насколько Н превосходит значение 0,5. Иными словами, показатель Херста позволяет разделить системы случайные и детерминированные, возмущенные случайными событиями.

Прологарифмировав (14), получим:

lg ( R / S ) = H x lg ( N ) + H lg ( a ) = H x lg ( N ) + C,     (17)

т.е. оценку Н в двойных логарифмических координатах можно найти как тангенс угла наклона средней арифметической заданного ряда. Причем оценка не зависит от лежащего в его основе распределения.

Количество данных, являющееся достаточным для применения метода Херста, до сих пор составляет предмет дискуссий. Теория хаоса свидетельствует о конечности долговременной памяти ряда, которая теряется в точке конца периода нелинейной системы. Если возможно оценить длину цикла, достаточно 10 циклов. Э. Петерс ориентируется на регрессию, возникающую в конце периода данных. Длина цикла не проявляется при недостаточности данных или когда цикла не существует. Если количество наблюдений много больше длины цикла, свойства ряда неотличимы от свойств простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Тогда Н = 0,5.

Кузнецов С.Б. и Гладковский О.П. показали удобство применения характеристики V _t для фрактальных рядов в экономике. Они подчеркивают ограниченность приведенного степенного закона значениями at, достаточно малыми по сравнению с числом наблюдений. При увеличении at показатель Хёрста описывает случайные колебания. Но при малом числе наблюдений в цикле не понять закономерности развития системы в целом. Следовательно, степенной закон выполняется в ограниченном (скейлинговом) диапазоне значений, который и можно использовать для определения показателя Хёрста.

Если R / S статистика изменяет масштаб пропорционально квадратному корню из времени:

V_t =  / ,                                           (18)

то график V _t от ln ( t) будет плоским, если процесс является независимым вероятностным процессом (Н = 0,5). При персистентном процессе R / S изменяет масштаб быстрее, чем корень из времени (Н > 0.5), график будет иметь наклон вверх. При антиперсистентном процессе (Н < 0.5) график наклонен вниз. При вычерчивании V _t от l n ( t) появляются плоские участки, где график V _N выравнивается и процесс с долговременной памятью рассеивается.

Момент перелома t _кр тенденции графика V _t -статистики соответствует о длине и периодического, и непериодического цикла.

На величину подвижности жителей оказывают влияние факторы: погодные, проведение распродаж и культурно-массовых мероприятий, уровень качества поездки и др. Корреляционно-регрессионным анализом трудно учесть все факторы, т.к. их число и взаимосвязи между ними изменяются. Кроме того, при большом количестве признаков классифицировать выявленные связи довольно сложно. Применение имитационных моделей дает множество решений, выбранное лучшее из них может оказаться неоптимальным. Функционирование ГПОТ очень отличается от традиционных СМО, поэтому они подходят лишь для локальных задач (например, одной остановки). Но эти методы не дают полной информации об исследуемом пассажиропотоке. Не всегда возможно с помощью аналитических методов разложить эмпирический временной ряд на вышеупомянутые аддитивные компоненты. Предложенный А.А. Сорокиным алгоритмический метод «Гусеница» (SSA) позволяет разлагать исходные данные на тренд, периодики и шум, но не позволяет получить формулу для расчета оценки в любой заранее заданной временной точке. Фрактальный же подход позволяет описать сложные сигналы достаточно просто и наглядно.

Стандартные функции пакета Microsoft Excel для анализа временных рядов не позволяют получить уравнение ряда для городских пассажирских перевозок с допустимой величиной ошибки аппроксимации. Неудача с подбором наиболее распространенных одномерных моделей для описания динамики объема перевезенных ГПОТ пассажиров не доказывает того, что это процесс случайный и поэтому не поддающийся описанию. Невозможно предсказать событие, состоящее в появлении отдельного пассажира на ОП в конкретный момент времени. Но поведение массы людей в среднем подчиняется статистическим закономерностям. Исходя из того, что природные системы характеризуются «локальной случайностью и глобальным детерминизмом», Уэст и Гольдбергер показали, что «фрактальная структура более стабильна и устойчива к ошибкам, чем другие».

Используем метод нормированного размаха (накопленного отклонения) для анализа одномерного временного ряда. Величина показателя Хёрста характеризует отношение силы тренда к уровню шума (детерминированный фактор к случайному).

С помощью программы Fractan применим метод нормированного размаха.

Показатель Херста Н = 0,89 > 0 – ряд трендоустойчивый. Просмотр автокорреляционной функции (рис.) выявил наличие корреляционных зависимостей между еженедельными отсчетами.

Рис. ‑ Фрактальный анализ суточной динамики пассажиропотока

СПАТП г. Северодвинска с 01.01.2007 по 27.05.2008

Рис. ‑ Автокорреляционная функция измерений пассажиропотока СПАТП г. Северодвинска с 01.01.2007 по 27.05.2008, с лагом 24 часа

Рисунок показывает, что при увеличении выборки до 700 значений кривая выглядит более гладкой, но наложение суточных колебаний, кратных недельным, делает цикл размазанным. Возрастание показателя Херста до Н = 0,905 свидетельствует о возможности непериодического цикла за пределами выбранных данных. Штрихованная окружность свидетельствует о присутствии квартальных периодических составляющих. Зубчатые всплески рядом (правее) сигнализируют о наличии периодических недельных и суточных колебаний. Из-за малого приращения и небольшого горизонта расчета график сильно изрезан.

Результаты расчета показателя Херста и автокорреляционной функции при перемешивании исходных данных приведены на рис.:

Рис. ‑ Фрактальный анализ перемешанных суточных данных

пассажиропотока СПАТП г. Северодвинска с 01.01.2007 по 27.05.2008

Рис. ‑ Автокорреляционная функция перемешанных данных пассажиропотока СПАТП г. Северодвинска с 01.01.2007 по 27.05.2008, с лагом 24 часа

Автокорреляция и показатель Херста Н = 0,5208 перемешанного фрактального ряда практически не отличаются от аналогичных показателей стохастического процесса, т.е. при перемешивании вариант фрактального ряда его структура разрушается и Н ≈ 0,5. Важность порядка данных свидетельствует о наличии долговременной памяти исследуемого нами ряда пассажиропотока.

Уменьшим временной лаг до 1 часа. Результаты фрактального анализа и график автокорреляционной функции количества перевезенных пассажиров на 4-х смежных почасовых интервалах автобусного маршрута № 7 г. Северодвинска приведены на рисунках ниже.

Показатель Херста для пассажиропотока на 4-х независимых почасовых интервалах принимает значения от 0,714 до 0,797, т.е. очень устойчив, что свидетельствует о персистентности и стабильности характера процесса.

Рис. ‑ Значения показателя Херста для пассажиропотока на городском маршруте № 7 г. Северодвинска с 02.04.2007 по 25.07.2007

Рис. ‑ Автокорреляционная функция для пассажиропотока на маршруте № 7 г. Северодвинска с 02.04.2007 по 23.04.2007, с лагом 1 час

График автокорреляции показывает наличие в процессе пассажирских перевозок сильных корреляционных зависимостей между значениями уровней выбранного ряда динамики с лагом в 24 часа, что обусловлено суточными колебаниями измеряемого показателя.

Аналогичны результаты фрактального анализа перевозок пассажиров на 4-х неперекрывающихся почасовых интервалах для такси «Спейс» г. Северодвинска.