Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки

В классической физике предполагаемся отсутствие в окружающем мире какой-либо выделенной системы (или чего-нибудь иного) для фиксации положений материальных точек в различные моменты времени и устанавливается процедура построения такой системы отсчета. Создание системы отсчета подразумевает выполнение следующих действий 1) выбор произвольного тела отсчета, 2) выбор на нем произвольной точки начала отсчета или начала координат, 3) построение декартовой системы координат  путем задания трех взаимно перпендикулярных координатных осей с масштабами изменения длин на них,  4) добавление к последней прибора для измерения времени. В зависимости от специфики задачи декартовы координаты могут быть заменены иной, более удобной для описания движения (например, цилиндрическими или сферическими координатами).

Определение 1.2 Системой отсчета называется совокупность связанной с телом отсчета системы координат и прибора для измерения времени

На рис. 1.3 представлены основные элементы системы отсчета и наиболее часто используемые системы координат.

Рис. 1.3. Система отсчета и различные системы координат

Некоторые авторы дополняют приведенное определение замечанием о необходимости наличия  наблюдателя, осуществляющего измерения. В выбранной системе отсчета с декартовой системой координат пространственное положение материальной точки задается с помощью трех ее координат – длин отрезков , заключенных между началом отсчета и основаниями перпендикуляров, проведенных от точечного тела до каждой из осей (рис. 1.3). Совокупность так полученных координат составляет вектор в трехмерном пространстве, называемый радиус-вектором материальной точки r.

Радиус – вектор (как и другие векторы в трехмерном пространстве) удобно записывать в виде столбцов из трех чисел

                                       (1.3)

для которых определены операции сложения и умножения на число:

          (1.4)

Определенные в соответствии с (1.4) простейшие математические операции эквивалентны известным «школьным правилам» действия над векторами. Например, определение суммы векторов равносильно сложению векторов по правилу параллелограмма»). Введенные операции позволяют представить записанные в виде столбца чисел (1.3) вектор в другой, весьма удобной форме: называемой разложением по ортам:

.      (1.5)

Входящие в разложение (1.5) векторыe_x,e_y и e_zимеют единичные длины и направлены вдоль координатных осей построенной системы отсчета. Такие «простейшие» векторы принято называть ортами. К более подробному рассмотрению их свойств ортов будет удобно вернуться позднее, после ведения операции скалярного умножения векторов.

Радиус-векторы материальных точек удобны для задания их положений в пространстве. Эти векторы наряду с другими весьма полезны и широко используются для математической записи законов классической физики и при решении разнообразных задач. При этом оказывается, что в простых преобразованиях векторы ведут себя подобно обыкновенным числам:

Теорема 1.1 Определенные соотношениями  (1.4) операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают свойствами, аналогичными известным свойствам соответствующих операций с числами:

Доказательство утверждений Теоремы 1.1 придумайте самостоятельно или обсудите на практических занятиях по математике.  

Теорема 1.1 позволяет работать с векторами практически так же, как с обычными числами. Дополнительные возможности, возникающие при использовании векторов в математическом аппарате механики, будут рассматриваться по мере возникновения соответствующих потребностей в ходе дальнейшего изложения курса механики. Использование векторов позволяет существенно сократить и упростить записи идей физики и сделать их независимыми от перемещений и поворотов системы отсчета – преобразований симметрии, не меняющих физической картины изучаемых явлений. Эта независимость очень привлекательна для современной физики, допускающей наличие у пространства фундаментальных свойств однородности и изотропности,

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Обоснуйте утверждения, сформулированные в теореме 1.1.

2. Положения двух материальных точек характеризуется радиус-векторами:

Рассчитайте расстояние от начала координат до материальной точки с радиус-вектором r₁ и найдите расстояние между двумя материальными точками.

3. Некоторые древние философы считали, то Ахиллес, бегущий со скоростью u за удаленной от него на расстояние l0 черепахи, уползающей от него со скоростью v < u,никогда ее не догонит из-за того, что за время его движения на отрезке пути l0 (и всех последующих отрезках до точки наблюдаемого им положения черепахи), последняя всегда будет удаляться на некоторое расстояние. Не пользуясь законом сложения скоростей или рассуждениями о дискретности пространства, приведите расчет, опровергающий приведенное ошибочное «рассуждение».

4. Не желающий оплачивать проезд в метро очень невоспитанный студент бежит вниз по эскалатору, идущему вверх, и насчитывает N1 ступенек. На обратном пути он по привычке бежит вверх по эскалатору, идущему вниз и насчитывает N2 ступенек. Сколько ступенек мальчик насчитает на неподвижном эскалаторе, если он хорошо тренируется и бегает вверх и вниз по эскалатору с одинаковой скоростью?

5. Честными ли являются соревнования пловцов на дистанциях одинаковой длины, проложенных по спокойной воде озера и по реке, если обе дистанции нужно поплыть в оба конца?

6. Сборщик фруктов идет со скоростью v1 относительно ленты транспортера, движущегося со скоростью u. Получатель фруктов идет навстречу со скоростью v2. С какой частотой получатель будет получать яблоки, если их кладут на ленту с частотой f0?

Лекция 2

Кинематика: основные понятия

Кинематика является вводным разделом механики и изучает методы описания движений тел и систем, не выясняя причин возникновения и реализаций их конкретных видов этих движений. Основными кинематическими характеристиками, используемыми при описании движения на уровне материальных точек, являются радиус-вектор материальной точки, ее перемещение, скорость его изменения радиус-вектора (мгновенная скорость) и скорость измерения мгновенной скорости (мгновенное ускорение). Указанные кинематические величины связаны друг с другом с помощью математических операций дифференцирования и интегрирования, составляющими основу высшей математики. Эти операции могут быть выполнены аналитически, графически или с помощью автоматизированных символьных вычислений на компьютере. Цель этой лекции – в ходе повторения известных со школьного курса физики идей кинематики познакомиться с этими операциями, без овладения которыми большинство задач кинематики и механики окажется недоступным для решения.

В основе операций дифференцирования и интегрирования лежит понятие приращения изменяющейся величины, которое будет неоднократно использоваться и в других разделах курса. Приращением (или изменением)любой изменяющейся во времени физической величины f(t) на конечный интервал времени dt будем называть разность между значениями этой величины в конечный (t+Δt) и начальный (t) моменты времени: Δf ≡ f(t+Δt) - f(t).