Основы динамики материальной точки

Основу классической динамики материальной точки составляет совокупность трех законов Ньютона. Эти законы по сути дают рецепт вычисления ускорений точечных тел, что открывает возможность нахождения их скоростей и радиус-векторов, т. е. решения основной задачи механики. Существует несколько альтернативных вариантов формулировки системы законов Ньютона. Представленная в настоящем пособии логика изложения этого вопроса имеет ряд преимуществ, но не является единственно возможной.

Законы Ньютона

Для формулировки законов Ньютона необходимо определить понятие инерциальных систем отсчета. Инерциальные системы составляют важный выделенный класс систем отсчета, поскольку в них задачи классической механики решаются наиболее просто.

Определение 4.1: Инерциальной системой отсчета называется такая система, относительно которой свободные тела движутся без ускорений.

    Определение 4.1 использует нетривиальное понятие свободного тела. Так называют идеализированный физический объект, который находится в пустом мире, где нет ничего, кроме него самого. Такая абстракция необходима для постановки вопроса о том, какие формы движения присущи телам, «предоставленным самим себе». Считается, что такие формы движения являются естественными и не требующими объяснений. Динамика изучает причины отклонения поведения тел от естественного и способы расчетов таких отклонений, т.е. движений тел, ен яляющихся свободными.

Поскольку абсолютно свободных тел в реальности, по-видимому, не существуют, вводится предположение, что тела, удаленные от других тел на очень большие расстояния, ведут себя подобно тому, как вели бы себя истинно свободные тела. Астрономические наблюдения показывают, что сильно удаленные от других видимых космических объектов «одинокие» звезды движутся с отличными от нуля ускорениями (рис.4.1). Вопреки астрономическим данным Галилей предложил считать, что естественным состоянием уединенных тел является движение без ускорения, т.е. равномерное прямолинейное движение и его частный случай – состояние покоя. Описанное свойство физических тел получило название  инертности.

Наблюдаемое же на практике ускоренное движение уединенных тел было отнесено за счет использования «неудачной» неинерциальной системы отсчета, традиционно связываемой с планетой Земля. Из-за ее собственного вращения и «неудачного» (с точки зрения рассматриваемой проблемы) расположения в непосредственной близости от других тел (Солнца и планет Солнечной системы), Земля и связанные с ней системы отсчета не ведут себя подобно свободным телам, а движутся с ускорением.

В результате наблюдатели на Земле регистрируют движение уединенных космических тел в усложненном «замаскированном» виде. Исключение из наблюдаемого движения с помощью законов сложения скоростей (2.22) и ускорений (2.23) вкладов, обусловленных вращением нашей планеты и ее ускоренным движением, указывает на теоретическую возможность построения («введения») такой системы отсчета, в которой уединенные тела движутся практически без ускорений. Ее существование постулируется важнейшим законом классической динамики, иногда называемом современной формулировкой Первого закона Ньютона:

Физический закон 4.1. Первый закон Ньютона Существуют инерциальные системы отсчета.

Первый закон является результатом обобщения огромного числа косвенных опытных фактов, накопленных в классической физике.

Опыт показывает, что двигавшиеся без ускорений относительно инерциальных систем отсчета свободные тела при сближении друг с другом, как правило, приобретают ускорения. Причины таких изменений поведения тел называют взаимодействиями. Все рассматриваемые в рамках классической физики взаимодействия ослабевают при увеличении расстояний между взаимодействующими телами.

Для количественного описания взаимодействия вводится векторная величина – сила. Определение силы дается через описание процедуры ее измерения прибором - динамометром (эталонной пружиной), с помощью которого в ходе измерения силы осуществляется компенсация взаимодействий. Взаимодействия считаются скомпенсированными, если рассматриваемое тела перестает двигаться ускоренно относительно инерциальных систем отсчета, то есть начинает вести себя подобно свободному телу (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Простейшие иллюстрации к формулировкам трех законов Ньютона

Опыт показывает, что для компенсации любых взаимодействий величина и направление деформации компенсирующей пружины в каждом случае могут быть выбраны однозначно. Это позволяет ввести вектор силы, используя данные о деформации упругого тела, компенсирующего рассматриваемое взаимодействия.

Определение 4.2 Величина вектора силы принимается равной величине деформации эталонной пружины, компенсирующей взаимодействие тел в инерциальной системе отсчета, а его направление задается направлением деформации этой пружины.

Второй закон представляет собой описание экспериментально наблюдаемого в инерциальных системах отсчета факта пропорциональности ускорения тела действующей на него силе, процедуру измерения которой была описана выше.

Физический закон 4.2. Второй закон Ньютона Опыт показывает, что ускорение тела, возникающее в результате его взаимодействий с другими телами, пропорционально действующей на него силе:                                      (4.1)

Из факта пропорциональности (4.1) следует, что отношение модулей силы и ускорения для точечного тела постоянно. Это делает удобным переход от пропорциональности (4.1) к равенству путем введения размерного коэффициента, называемого инертной массой (или просто массой) тела:

.                                                 (4.2)

Иногда говорят, что масса является количественной мерой инертности тел, т.е. их способности к сохранению соответствия поведению свободных тел в условии взаимодействий с другими телами.

 Следствием второго закона является независимость от механического состояния тел их инертной массы, вводимой как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением. К основным свойствам инертной массы можно отнести:

· скалярный характер массы и возможность ее количественного описания с помощью действительных чисел;

· неотрицательность массы

· независимость массы от механического состояния тела (его положения и скорости);

· аддитивность массы (равенство массы тела сумме масс его частей):

Перечисленные свойства с хорошей точностью выполняются в разнообразных системах, описываемых законами классической физики и существенно видоизменяются при переходе, например, к релятивистскому описанию.

Третий закон Ньютона описывает связь между силами, возникающими в случае парных взаимодействий двух тел (рис. 4.1):

	Физический закон 4.3. Третий закон Ньютона При взаимодействии двух тел всегда возникают силы, приложенные к каждому из них, равные по величине и противоположно направленные.                                         (4.4)
	Пример 4.1. Падение планеты на кокос На некоторой уединенной планете массой M, одиноко покоящейся вдали от прочих звезд и планет, растет Одинокая пальма высотой H, на вершине которой вызрел Кокос массой m. Совершенно неожиданно Кокос отрывается от пальмы и падает на поверхность планеты. Какой путь пройдет планета, двигаясь навстречу кокосу в течение времени его падения?

Решение. Вне зависимости от того, какими конкретными особенностями обладают взаимодействия между планетой и кокосом, в произвольный момент времени падения кокоса и планеты навстречу друг другу (рис. 4.2) силы взаимодействия между ними, согласно (4.4), равны по величине и направлены противоположно. В соответствии со вторым законом Ньютона (4.2), отношение величин падения планеты на кокос (A) и кокоса на планету (а) равно обратному отношению масс тел:

  .                             (4.5)

В случае равенства нулю начальных скоростей обоих тел, отношение величин их скоростей (v и V), и (покажите это самостоятельно) пройденных ими отрезков путей (Δh и ΔH) в соответствии с (2.7) оказывается равным отношению ускорений (4.5):

.            (4.6)

Учитывая, что сумма удовлетворяющих (4.6) отрезков встречных перемещений кокоса и планеты равна высоте пальмы Н, легко определить путь, пройденный до момента их встречи каждым из тел. Например, для планеты:

Рис. 4.2. Иллюстрации к примерам 4.1 и 4.2
 использования второго закона Ньютона