Равноускоренное движение

Определение 2.7 Равноускоренным называется движение, при котором вектор мгновенного ускорения не зависит от времени

                                 (2.12)        

Вычисляя по (2.7) скорость по известному ускорению, легко показать (например, путем вычисления площадей под графиками) что при равноускоренном движении скорость является линейной функцией времени:

                                                            (2.13)

Из (2.7) и (2.13) так же показывается, что при равноускоренном движении координата является квадратичной функцией времени:

               (2.14)

Соотношения (2.13) и (2.14) дают исчерпывающее описание равноускоренного движения.

Частным случаем равноускоренного движения является движение с нулевым ускорением, при котором радиус-вектор частицы оказывается линейной функцией времени. Такое движение называется равномерным прямолинейным. Его частным является состояние покоя. Важным для современной релятивистской физики свойством состояний равномерного прямолинейного движения и покоя является их физическая неразличимость для наблюдателя, находящегося в замкнутой системе отсчета. Весьма далеко идущие следствия из такой неразличимости будут рассмотрены в последующих разделах .

 Другой частный случай прямолинейного равноускоренного движения реализуется при сонаправленных начальной скорости и ускорения. В этом случае удобно так выбрать систему отсчета К, чтобы одна из осей (например, х) была ориентирована вдоль векторов a₀ и v₀. Это обеспечивает возможность сведения векторного описания равноускоренного движения к скалярному:

Для одномерного равноускоренного движения может быть сформулирован ряд утверждений о его свойствах, учет которых иногда существенно облегчает решение задач:

	Теорема 2.1. При равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей точечного тела.
	Теорема 2.2 Изменение координаты точечного тела при равноускоренном движении равно разности квадратов его конечной и начальной скоростей, отнесенной к удвоенному ускорению:
	Теорема 2.3 Равноускоренно движущееся первоначально покоившееся тело за равные промежутки времени проходит отрезки путей, относящиеся между собой как последовательные нечетные числа:

Доказательства сформулированных теорем приводятся во многих элементарных курсах физики и в рамках настоящего изложения должны быть получены учащимися самостоятельно.

Практически важным примером приложения формул для равноускоренного движения является анализ движения тела, брошенного под углом к горизонту, на котором базируется такая до сих пор популярная дисциплина, как баллистика.

Пример 2.3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Рассмотреть особенности движения тел вблизи поверхностей планет, при котором взаимодействия с другими объектами пренебрежимо мало, а ускорение свободного падения может считаться постоянным

Решение задачи в удобной для анализа системе отсчета с удачным выбором начала координат и направления декартовых осей (рис. 2.6) позволяет существенно упростить математические выкладки:

                                                            (2.15)

Рис. 2.6.  Движение тела, брошенного под углом к горизонту: система координат, траектория и зависимости от времени координат и проекций скорости материальной точки

Зависимость от времени компонент скорости тела, брошенного под углом к горизонту, и его координат дается общими формулами равноускоренного движения (2.13) и (2.14) с учетом конкретизации (2.15):

                                                     ,                                          (2.16)

                                                                                      (2.17)

Время подъема Т_↑ определяемое из условия обращения в ноль вертикальной компоненты скорости в верхней точке траектории, позволяет найти максимальную высоту подъема Н:

                    .        (2.18)

Для расчета дальности полета определяется интервал времени Т_↑↓ до момента, когда тело окажется на исходной высоте r_y = 0. Это время оказывается в два раза большим, чем время подъема Т_↑. Последнее означает, что в случает отсутствия сопротивления воздуха времена подъема и спуска брошенного тела совпадают друг с другом. В результате дальность полета оказывается пропорциональной квадрату начальной скорости и синусу удвоенного угла бросания:

    (2.19)

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, получается в результате исключения времени из двух уравнений для координат (2.17):

                           (2.20)

Пример 2.4.  Движение  тела с постоянной скоростью изменения ускорения Рассмотреть особенности одномерного прямолинейного движения первоначально покоившегося в начале координат тела, ускорение которого начинает возрастать во времени по линейному закону от нулевого значения в начальный момент времени.

Решение. В описанной в условии ситуации временная зависимость скорости изменения ускорения («тряски») полностью аналогична  зависимости от времени скорости изменения скорости (ускорения):

                        .

Из аналогии между определениями скоростей изменения  ускорения и скорости следует, что в рассматриваемом случае временное поведение ускорения полностью аналогично поведению скорости при равноускоренном движении:

а зависимость v(t) оказывается подобной зависимости от времени координаты при прямолинейном равноускоренном движении первоначально покоившегося тела:

На следующем шаге вычисления перемещения тела при движение с увеличивающимся ускорением построенная  цепочка аналогий с (2.12) – (2.14), позволяющая находить кинематические характеристики движения с Q ( t) = const графически обрывается. Для нахождения перемещения при рассматриваемом движении следовало бы вычислять площадь под параболой. В соответствии с (2.5) центральным этапом в решении задачи является нахождение первообразной от квадратичной функции. Используя уже возникший в практике расчетов производных опыт, нетрудно убедиться в том, что соответствующее перемещение, имеет вид кубической параболы, производная от которой дает найденное выражение для скорости:  

Математическая запись проделанной операции «угадывания» первообразной (записывается в квадратных скобках) и последующей подстановки подстановки пределов интегрирования имеет следующий вид: