Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов может быть введено в трехмерном пространстве, как антикоммутативная операция, ставящая в соответствие двум сомножителям псевдовектор:

.

Определение 3.3 Векторным произведением двух векторов в трехмерном пространстве называется вектор, направленный перпендикулярно плоскости, задаваемой перемножаемыми векторами, в направлении, определяемом правилом «правой руки», длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (рис. 3.2):

                                                                              (3.11)

Рис. 3.2. Правило выбора направления векторного произведения двух векторов и геометрический смысли смешанного скалярно-векторного произведения

Из определения следует, что векторное произведение двух параллельно направленных векторов (в том числе и векторное произведение вектора на себя) равно нулю.

В курсе математики доказывается ряд полезных теорем о векторном произведении, которые будут постоянно использоваться в курсе физики:

	Теорема 3.1 Скалярное произведение векторного произведения дух векторов на третий вектор («смешанное скалярно-векторное произведение») численно равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах (рис. 3.2) и не изменяется при циклической перестановке сомножителей:               (3.12)
	Теорема 3.2 Векторное произведение линейно по своим сомножителям:                          (3.13)

Теорема 3.3: Декартовы компоненты векторного произведения двух векторов вычисляются через координаты сомножителей согласно:                (3.14)

Использование широко распространенного в математике понятия определителя позволяет переписать выражение (3.14) в эквивалентном виде, который окажется весьма удобным в дальнейшем:

.                                      (3.15)

Помимо смешанных скалярно-векторных произведений в физике весьма часто возникают двойные векторные произведения (векторное произведение вектора на векторное произведение двух векторов). Применение к таким объектам соотношений (3.14) и (3.15) привело бы к весьма громоздким математическим выражениям. Во многих случаях вычисления существенно упрощаются в результате использования  правила «БАЦ минус ЦАБ»:

Теорема 3.4: Двойное векторное произведение является вектором, вычисляемым согласно:                          (3.16)

    Соотношения (3.12) – (3.16) обосновываются в курсе алгебры, но могут быть доказаны читателем самостоятельно сразу после того, как будет продемонстрировано удобство из использования для описания криволинейного движения материальной точки.