Статистический способ задания вероятности

При данном способе рассматривается случайный эксперимент для которого построить пространство элементарных событий невозможно. Тогда эксперимент проводится  раз при неизменном комплексе условий протекания и подсчитывается число экспериментов, в которых появилось некоторое событие  . Тогда вероятность вычисляется по формуле

На практике, при вычислениях вероятностей в классической схеме часто приходиться пользоваться формулами комбинаторики (соединений). Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных событий в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу  элементов из  различных элементов исходного множества. Существуют две принципиально различные схемы выбора:

        а) без возращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все  элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества);

        б) с возвращением (выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательном перемешиванием исходного множества перед следующим выбором).

        В результате получаются различные постановки эксперимента по выбору наудачу  элементов из общего числа и различных элементов исходного множества.

     1. Перестановки. Возьмем  различных элементов , будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя лишь их порядок. Каждая из полученных таким образом комбинаций ( в том числе и первоначальная) носит название перестановки. Общее число перестановок из  элементов обозначается  и равно

Символ  (читается «эм факториал»). Следует отметить, что 0!=1.         

    2. Размещения. Будем составлять из  различных элементов множества по элементов в каждом, отличающихся либо набором элементов, либо порядком их следования. Полученные при этом комбинации элементов называются размещениями из  элементов по  и обозначается . Их общее число равно:                                                 

                               .

       Замечание. Перестановки можно считать частным случаем размещений (именно   размещениями из  элементов по ) .

3. Сочетания. Из  различных элементов будем составлять множества по элементов, имеющих различный состав. Полученная при этом комбинации элементов называются сочетаниями из  элементов по . Общее число различных между собой сочетаний обозначается  и вычисляется по следующим формулам:

                          ,

или

                      .

Лекция №2  Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий  Числовая неотрицательная функция  удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если события  образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

2. Вероятность противоположного события:

3. Если событие  влечет за собой событие , то вероятность события  не превосходит вероятность события , т.е.  

Пусть  и - наблюдаемые события в эксперименте , причем . Условной вероятностью  осуществления события при условии, что событие  произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:

  Теорема сложения:

            Пусть событие -совместные события. Тогда вероятность их объединения вычисляется по формуле:

         .

  Теорема умножения :

   Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие имели место: