Дисциплина «Аналитическая геометрия»

1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Векторы, их координаты. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов, его координатное выражение. Векторное

произведение векторов, его координатное выражение. Смешанное произведение векторов, его координатное выражение.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

                              

Прямая на плоскости, уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках.

Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.

Взаимное расположение двух прямых, угол между прямыми.

Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений и исследование формы. Вырожденные кривые второго порядка. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости.

          Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.

Взаимное расположение двух плоскостей, плоскости и прямой, двух прямых в пространстве.

Поверхности второго порядка: эллипсоид и гиперболоиды, параболоиды,

конус и цилиндры.

 

Дисциплина « Математический анализ» (курсивом выделены части, относящиеся к только к углублённому курсу)

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

Элементы компьютерной математики: Множества и операции над ними.

Декартово произведение множеств, бинарные отношения. Отображения и их свойства.

Множество действительных чисел. Элементы конечной арифметики . Аксиома отделимости. Приближённые вычисления. Верхние и нижние грани. Стягивающиеся отрезки. Предельные точки. 

 

2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

Предел последовательности, предел функции. Бесконечно малые. Арифметические свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Вычисление .Предел монотонной ограниченной функции. Число .

Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции. Непрерывность, точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

Непрерывность элементарных функций. Символы . Вычисление пределов  .

   Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.      Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства. Производные элементарных функций. Производная обратной функции.  Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически.

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

   Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума.         

Теоремы Лагранжа и Коши. Критерий постоянства функции на интервале.

   Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложения функций по формулам Тейлора..

    Правила Лопиталя.

    Монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции.

 Выпуклость графика функции. Построение графика изотермы газа Ван –дер- Ваальса.

Построение графика межмолекуляроного потенциала Леннард-Джонса.

4. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Общие правила интегрирования: интегрирование по частям, интегрирование подстановкой.

Интегрирование рациональных функций. Тримолекулярная реакция.

Интегрирование некоторых иррациональных функций и некоторых тригонометрических функций.

 

5. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Задача о площади плоской фигуры. Определённый интеграл.

Суммы Дарбу и их свойства.Критерий интегрируемости. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции.

Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определённых интегралов по основной формуле интегрального исчисления (формуле Ньютона-Лейбница).

Приложения интеграла: объём тела. длина дуги кривой и площадь

поверхности вращения.

Несобственные интегралы и обобщение понятия площади плоской фигуры. Сходимость интегралов .Теоремы о сравнении для несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Абсолютно сходящиеся интегралы. Условно сходящиеся интегралы.

Формулы приближённого интегрирования.

 

 

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пространство . Открытые, замкнутые, компактные множества в нём. Функции, отображения, их пределы и непрерывность.

Дифференцируемость функций нескольких переменных. Частные производные. Достаточные условия дифференцируемости функции.

Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Касательная плоскость. Производная по направлению. Градиент.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Формулы Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных.

Неявная функция. Система неявных функций(без док-ва)

Условный экстремум. Приложения теории условного экстремума к задачам статистической термодинамики.

7. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши. Признаки Раабе, Гаусса (без доказательства).

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Условная сходимость. Теорема Лейбница. Теорема Римана.

 

8. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

 

Равномерная сходимость функциональной последовательности,

ряда. Признак Вейерштрасса. Признаки Абеля и Дирихле.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональной последовательности, ряда.

 

 

9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА (Относится к части «углублённый курс»)

Собственные интегралы, зависящие от параметра, их непрерывность, дифференцирование и

интегрирование.

  Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость.Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Дини, Абеля, Дирихле равномерной сходимости. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов.

Интегралы Дирихле и Пуассона.  Эйлеровы интегралы. Формула Стирлинга.

 

10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

 

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность их суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

 

11. РЯДЫ ФУРЬЕ ( возможно изложение в курсе уравнений математической физики)

 

Ортогональные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.

 Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Ляпунова-Парсеваля, замкнутость и полнота.

Понятие полноты и замкнутости ортогональной системы функций. Тригонометрическая система функций и тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (без док-ва) Ядро Дирихле, лемма Римана и признак Дини сходимости ряда Фурье в точке. Принцип локализации Римана. Ряды Фурье чётных и нечётных функций. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Теоремы Вейерштрасса о приближении функций. Преобразование Фурье.

 

Части 12-14 можно излагать в виде отдельного курса

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

    

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение 

.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши(без док-ва). Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида .

  Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли.                           

  Уравнения, не разрешённые относительно производной. Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро. Особые точки, особые решения.

 

13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГО ПОРЯДКА

 

Дифференциальные уравнения го порядка. Задача Коши для

уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения.

 

14. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГО ПОРЯДКА

Линейные дифференциальные уравнения го порядка. Свойства

линейного однородного дифференциального уравнения го порядка.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения го порядка.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения го порядка. Принцип суперпозиции решений. Метод вариации постоянных.

Линейное однородное дифференциальное уравнение го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. Метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения го порядка с постоянными коэффициентами.

 

 

 

15. ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Двойной и тройной интеграл, его основные свойства. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление интеграла

.

  Тройной интеграл, его основные свойства. Вычисление тройного интеграла. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Общая формула замены переменных в двойном и тройном интеграле. Несобственные двойные и тройные интегралы.

Мера Жордана в . Кратный интеграл Римана. Множества меры нуль в . Критерий интегрируемости Лебега. Теорема Фубини и её следствия. Замена переменных в кратном интеграле.

16.  КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Криволинейный интеграл 1-го типа. Задача о массе дуги кривой.

 Криволинейный интеграл 2-го типа. Задача о работе силы.

Формула Грина . Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости. Признак полного дифференциала на плоскости

17. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 Площадь поверхности, заданной явным уравнением. Интегралы по

поверхности 1-го типа. Задача о массе поверхности.

Двусторонние поверхности. Интегралы по поверхности 2-го типа. Поток вектора через поверхность.

Формула Остроградского. Её векторная запись.

Формула Стокса. Её векторная запись.

  Элементы теории поля: скалярные и векторные поля, определение и основные свойства градиента скалярного поля, потока, дивергенции, циркуляции и вихря векторного поля. Соленоидальное поле. Векторная трубка в нём. Потенциальное поле.

Дифференциальные формы, замена переменных в дифференциальных формах. Внешние дифференциалы дифференциальных форм. Интегралы от дифференциальных форм. Общая формула Стокса в .