Ряды Фурье и специальные функции

1. Ряды Фурье в n-мерном пространстве. Сигнал, спектры сигнала, энергия сигналов.

2. Задача Штурма –Лиувилля в n-мерном пространстве.

3. Задача Штурма –Лиувилля (обычный случай, особый случай).

4. Простейшие специальные функции. Полиномы Лежандра, Чебышёва-Эрмита, Чебышева- Лагерра.

5. Уравнение Бесселя. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя.

6. Задача Штурма –Лиувилля в n-мерном пространстве для уравнений эллиптического типа.

7. Колебание мембраны.

8. Задача Штурма –Лиувилля для получения кратных тригонометрических рядов Фурье.

9. Метод Фурье разделения переменных для уравнений эллиптического типа для задачи Штурма –Лиувилля в n-мерном пространстве.

10. Задача Штурма –Лиувилля для круга.

11. Задача Штурма –Лиувилля для шара. Полиномы Лежандра. Уравнение сферических функций.

12. Сферические функции как собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.

13. Сферические функции в n-мерном пространстве, метод разделения переменных, ряды Фурье по сферическим функциям.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Асимптотика. Асимптотические ряды

1. Ряды Лорана, вычеты. Аналитическое продолжение. Многозначные функции. Ветви.

2. Перемножение рядов. Метод Фробениуса.

3. Регулярные особые точки. Метод Фробениуса нахождения двух линейно независимых решений.

4. Интегральное представление полиномов Лежандра и его производящие функции. Решение уцравнения Бесселя методом Фробениуса, Производящая функция и интегральное представление.

5. Асимптотические ряды, их свойства.

6. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка и их асимптотика. Асимптотика функций Бесселя.

7. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.

8. Интегралы от параметра в комплексной плоскости.

9. Несобственные интегралы от параметра в комплексной плоскости.

Ряды Фурье. Преобразования Фурье и Лапласа

1. Ряды Фурье. Дискретные спектры.

2.  Преобразование Фурье. Непрерывные спектры. 

3. Определение оригинала и изображения по Лапласу.

4. Формула обращения преобразования Лапласа.

5. Свойства преобразования Лапласа.

6. Свёртка оригиналов, образ Лапласа от свёртки.

Обобщённые функции (распределения) и их преобразования Фурье

1. Регулярные и сингулярные обобщённые функции.

2. Дельта-функция. Дифференцирование и сходимость обобщённых функций.

3. Пространство быстро убывающих функций, пространство медленно растущих обобщённых функций , преобразования Фурье в них.

4. Свёртка.

Физически реализуемые сигналы. Сигналы с конечным спектром

1. Сигналы с конечным спектром. Теорема Пели-Винера.

2. Теорема Котельникова для передачи сигналов с конечным спектром.

3. Понятие о фильтрации неслучайных сигналов.

4. Дискретное и быстрое преобразования Фурье.

5. Физически реализуемые сигналы.

6. Теорема Пели-Винера в вещественной области.

7. Преобразование Гильберта.

8. Z-преобразование.

9. Применения преобразований Фурье и Лапласа физически реализуемых сигналов.

10. Взаимнокорреляционные и автокорреляционные функции.

11. Понятие системы передачи сигналов.

Случайные процессы. Интегральные уравнения

4. Случайные процессы. Взаимнокорреляционные и автокорреляционные функции по времени.

5. Спектральные плотности взаимнокорреляционных и автокорреляционных функций.

6. Фильтр Калмана- Бьюси.

7. Уравнения Винера-Хопфа.

8. Понятие об интегральных уравнениях Вольтерра, Фредгольма, Абеля и Радона.

Составитель проф. Прилепко А.И.

 

ЛИТЕРАТУРА

Основная

69. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.

70. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).

71. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).

72. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007). 

73. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005). 

74. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).

75. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н.  Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).

 

76. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.

77. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.

78. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.

79. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008).

80. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1,2. — Минск: изд. ТетраСистемс, 2008.

81. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1979.

82. Б.П. Демидович, В.П. Моденов,Дифференциальные уравнения. С.П-б.: «Иван Фёдоров», 2003

83. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

84. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. — М.: Проспект: изд. МГУ, 2004 (серия “Классический университетский учебник”).

85. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

86. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

87. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Профессия: Спб, 2005

88. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. т. 1, 2. Альфа, 1998 (Физматлит, 2005).

89. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.1 Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Физматлит, 2003.

90. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. М., Физматлит, 2003.

91. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. М., Физматлит, 2003.

92. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

93. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., Наука, 1995.

94. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Высшая школа,1999

95. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. Лань, 2008

96. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 – 2004.

97. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001). (ФИЗМАТЛИТ, 2004).

98. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1993, М.: Изд-во МГУ, 2004(серия “Классический университетский учебник”).

99. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Лань, 2007

100. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Эдиториал УРСС, 2000.

Дополнительная