Оптимальная фильтрация при измерении параметров сигнала

Очень часто основной задачей, стоящей перед ОЭП, является измерение какого-либо параметра сигнала, приходящего на вход прибора. Например, параметры сигнала могут быть определенным функциональным образом связаны с координатами излучателя. В данном случае точность измерения параметров сигнала будет определять и точность измерения этих координат. Перед ОЭП, предназначенными для таких целей, ставится обычно задача: с максимальной точностью воспроизвести сигнал (по одному или нескольким его параметрам). Поэтому их часто называют системами воспроизведения. Точному воспроизведению мешают те же факторы, которые действуют и при обнаружении сигнала, т.е. различные помехи. Обычно принципиально неустранимыми являются случайные помехи: как внешние, т. е. возникающие вне ОЭП, так и внутренние, источники которых находятся в составе прибора.

Критерием качества систем воспроизведения часто считаютсреднюю квадратическую погрешность измерения (оценки) воспроизводимого параметра сигнала, например, его временного или пространственного положения, амплитуды и т.д. Системы, которые обеспечивают минимальную среднюю квадратическую погрешность, являются в данном случае оптимальными фильтрами. Критерий минимума средней квадратической погрешности не может служить универсальным критерием качества систем воспроизведения, однако он достаточно прост для анализа и надежен в большинстве практически важных случаев.

Наиболее полно теория оптимальной фильтрации при воспроизведении развита для линейных фильтров. Ниже будет рассмотрен именно такой случай. Попытаемся найти общее выражение для средней квадратической погрешности воспроизведения какого-либо параметра сигнала, а затем установить, при каких условиях эта погрешность становится минимальной, т.е. найдем характеристики оптимального линейного фильтра. Впервые эта задача в общем виде была решена А. Н. Колмогоровым и Н. Винером.

Если на вход прибора с импульсной реакцией h(a) поступает аддитивная смесь сигнала s(a) с помехой n(a), например поток от исследуемого излучателя и поток от случайной гауссовской помехи в виде функций параметра a, то, пользуясь интегралом свертки (см. §2.1), можно найти выражение для выходного сигнала, соответствующего суммарному входному сигналу х(a)=s(a)+n(a), т.е.

где

 (11.13)

 (11.14)

Пусть прибор работает таким образом, что искомое значение параметра a соответствует максимуму функции выходного сигнала. Например, направление на излучатель определяется по максимуму амплитуды выходного сигнала. Вследствие наличия помехи п(a) максимумы функций у(b) и у_c(b) не будут совпадать. Соответствующее построение приведено на рис. 11.4. В силу случайного характера п(a) это несовпадение Db=b*-b₀ будет также случайной величиной. Ее дисперсия (квадрат средней квадратической погрешности) для оптимального фильтра воспроизведения должна быть минимальна. Пусть измерение параметров сигнала происходит при большом значении отношения сигнал/помеха. Тогда можно считать, что случайные погрешности Db малы. Условием экстремума у(b) является равенство нулю первой производной функции у(b).

Рис.11.4.К выводу (11.16)

Разлагая в ряд Тейлора первую производную сигнальной функции у_с(b) для области b=b₀ и пренебрегая членами второго порядка малости, получим

 (11.15)

Поскольку в точке b= b₀ производная у¢_c=0, то из (11.15) следует, что

Дисперсия этой случайной величины

 (11.16)

Воспользовавшись правилом Лейбница о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, а также применив правило интегрирования по частям к (11.13) и (11.14), представим выражения для y¢_ш(b) и y²_c(b) в виде

 (11.17)

 (11.18)

Поскольку при бесконечных значениях аргумента a импульсная реакция h(b-a) и ее производная h¢(b-a) равны нулю для физически осуществимых фильтров, выражение (11.18) примет вид

 (11.19)

Подставив (11.17) и (11.19) в (11.16), получим

 (11.20)

Выражение (11.20) носит достаточно общий характер. В §15.3 оно будет использовано при расчете дисперсии погрешности измерения параметров детерминированного сигнала.

Задача определения частотной характеристики оптимального фильтра воспроизведения была решена рядом исследователей методами вариационного исчисления. В общем случае, когда случайные сигнал и помеха (шум) коррелированны, эта характеристика для оптимального (винеровского) фильтра определяется выражением

где (см. §2.2.)

х(a) и у(a) — смеси сигнала и помех на входе и выходе системы соответственно.

Определив корреляционные функции R_xy и R_x и соответствующие им энергетические спектры W_xy и W_x, можно найти в общем виде функцию H(jw_a).

В том случае, если сигнал и помеха статистически независимы и решается задача простого воспроизведения сигнала,

 (11.21)

где W_c(w_a) и F_ш(w_a) — энергетические спектры сигнала и помехи соответственно, причем их можно определить через корреляционные функции сигнала R_c(Da) и помехи R_ш(Da) из выражений:

Здесь

s(a) и n(a) — сигнал и помеха.

Соответствующая (11.21) минимальная дисперсия

 (11.22)

Рис. 11.5. Структурная схема воспроизведения с оптимальным фильтром (ОФ) в случае одновременного действия искажения сигнала и помех

Иногда в качестве оптимальных фильтров воспроизведения используют фильтры с более сложной (по сравнению с (11.21)) частотной характеристикой. Так, если сигнал s(a) со спектром S(w_a) подвергается искажениям, которые могут быть описаны Фурье-оператором (спектром искажений) вида U_и(w_a), и в системе (рис. 11.5) имеют место аддитивные шумы со спектром U_ш(w_a), то оптимальный фильтр воспроизведения, выполняющий восстановление искаженного сигнала s_и(a), должен иметь частотную характеристику вида

Первый сомножитель 1/U_и(w_a) соответствует частотной характеристике инверсного фильтра, предназначенного для коррекции искажений сигнала. Второй сомножитель (в фигурных скобках) представляет собой частотную характеристику сглаживающего фильтра Н_с(w_a) с бесконечной задержкой, обеспечивающего выделение скорректированного сигнала на фоне шумов, спектральная плотность мощности которых после инверсного фильтра равна çU_ш(w_a )ú²/çU_и (w_a)ú². Из этого выражения следует, что при большом отношении сигнал/шум оптимальный фильтр приближается к инверсному.