Общие сведения об оптимальных методах приема сигналов при наличии помех

Одной из основных и наиболее сложных проблем оптико-электронного приборостроения является отыскание наилучших способов приема и обработки полезных сигналов при наличии помех. Оптимальность метода приема сигнала оценивается с помощью различных критериев в соответствии с назначением прибора. Например, при решении задачи обнаружения сигнала на фоне помех критерием оптимальности является отношение сигнал/помеха (сигнал/шум), а при решении задачи измерения (воспроизведения) какого-либо параметра сигнала таким критерием может служить средняя квадратическая погрешность измерения.

Другие критерии используются, например, при решении задач по распознаванию объектов (сигналов, создаваемых этими объектами), по пространственному или спектральному разрешению различных сигналов и т.д.

Идеализированный прибор, обеспечивающий предельно достижимое значение выбранного или заданного критерия качества приема сигнала, принято называть оптимальным приемником или оптимальным фильтром.

Основная задача теории оптимальных методов приема — нахождение оптимальных способов приема для заданных или выбранных видов сигналов. Другой ее задачей может быть нахождение оптимальных видов сигналов, например при активном методе работы ОЭП.

Примем, что на вход прибора поступает смесь сигнала s(a) и помехи n(a):

которая в простейшем случае (аддитивная помеха) является просто их суммой, т.е.

Возможен также случай неаддитивной помехи, которая воздействует на один или несколько параметров сигнала, вызывая, например, паразитную модуляцию сигнала. Примером такой помехи является изменение сигнала вследствие флуктуаций прозрачности среды распространения.

Сигнал, искаженный аддитивными помехами, можно рассматривать как сигнал со случайными параметрами b₁, b₂, …, b_m, а смесь сигнала и помех в общем виде — как функцию

Помехи, особенно аддитивные, как правило, — случайные функции аргументов a (пространственных координат, времени и т. д.). Часто случайным является и сигнал. Поэтому смесь сигнала и помех необходимо рассматривать как случайную функцию.

Если обозначить сигнал на выходе фильтра через у (a), то задача нахождения оптимального фильтра сводится к определению такой его структуры, при которой сигнал у (a) будет наилучшим с точки зрения принятого критерия.

При использовании статистических методов для нахождения характеристик оптимальных фильтров следует иметь в виду ряд факторов. К числу основных таких факторов можно отнести следующие:

1) обычно предполагаются априорно известными законы распределения случайных сигналов и помех, что далеко не всегда бывает на практике. Однако это ограничение часто устраняется путем оптимизации системы для наименее благоприятного распределения, т.е. для худших условий работы ОЭП. Другим способом решения этой проблемы является применение самонастраивающихся, адаптивных, приборов и систем, техническая реализация которых достаточно сложна;

2) при оптимизации структуры ОЭП предполагается, что характеристики всех сигналов и помех (шумов) не зависят от нее. На практике многие помехи возникают внутри прибора и существенно зависят от его структуры. Это ограничение часто приводит к тому, что синтезируется оптимальным не весь прибор в целом, а лишь отдельные его части, например, система первичной обработки информации.

Статистическое описание смеси сигнала и помех x (a) обычно задается в виде условного распределения вероятности р_s (х). Критерий оптимальности связан с функцией потерь r(s, x) — функцией расхождения s и х, которую часто выбирают на основе инженерных или интуитивных соображений. Усреднение этой функции по р_s (х) дает так называемый средний риск:

 (11.1)

где p(s) — вероятность наличия сигнала s.

Функция r(s, x) определяет вес (относительную значимость) погрешности, т.е. расхождения между s и х. Обычно r(s, x) выбирается такой, что она возрастает по мере увеличения расхождения между s и x.

При несмещенной оценке, т.е. если математическое ожидание случайной величины х совпадает с s, и r(s, x)=(x-s)², легко убедиться, что средний риск r равен дисперсии D погрешности воспроизведения s. Действительно,

Минимизация r, как условие оптимизации системы, может быть реализована на основе различных подходов: Байесова, минимаксного, Неймана-Пирсона и др. [17].

Следует отметить, что сигналы и помехи, приходящие на вход ОЭП, являются многомерными функциями и прежде всего функциями пространственных координат, времени, длины волны (хотя длина волны l и время t связаны между собой, здесь, как это часто делается на практике, учитывается, что динамические процессы, описываемые в масштабе t, на много порядков медленнее электромагнитных колебаний, периоды которых определяют l). Поэтому аргументы a и соответствующие им частоты w_a в приведенных здесь и ниже выражениях являются многомерными векторами. Многомерными являются и функции этих аргументов. Таким образом, нахождение характеристик оптимальных фильтров в общем виде представляет собой сложную и емкую вычислительную задачу. Например, при использовании двух диапазонов длин волн l, четырех выборок сигнала во времени t и деления анализируемого пространства на девять участков требуется решение 72 линейных алгебраических уравнений, что приводит к необходимости выполнить около 120 тыс. операций умножения и столько же операций сложения. Даже при использовании современной вычислительной техники это может стать непреодолимым препятствием при решении задачи оптимальной фильтрации в реальном масштабе времени.

Решение проблемы лежит прежде всего в представлении функций s, n и других в виде функций с разделяющимися переменными, что позволяет отдельно оптимизировать прибор по переменным l (или n ), х и у (или w _x , w _y ), t (или w ), заметно уменьшать объем операций по обработке сигналов в звеньях ОЭП, а также проводить оптимизацию по этим переменным различными конструктивными приемами, т.е. в различных звеньях прибора.