Оптимальная фильтрация при обнаружении сигнала на фоне помех

Рассмотрим в общем виде процедуру обнаружения сигнала на фоне помех (шумов). На первом ее этапе производится обработка полученной смеси сигнала и помех, позволяющая наиболее эффективно выделить полезный сигнал и максимально подавить помеху. На втором этапе по выбранному критерию проводится оценка наличия или отсутствия сигнала в принятой смеси. Простейшим критерием является превышение обработанной (отфильтрованной) смеси сигнала и помехи x_ф некоторого порогового значения х₀. При этом принимается решение о наличии сигнала.

Структурная схема системы, реализующей рассмотренную процедуру, представлена на рис. 11.1. Помимо внешних помех п к сигналу s могут добавляться и внутренние помехи, т.е. смесь х может включать и шумы приемного устройства. Пороговый уровень может быть задан постоянным или изменяющимся по заранее обусловленной программе либо в соответствии с каким-либо параметром выборки х, например с ее дисперсией. Возможна адаптивная подстройка х₀ в зависимости от s и п (см. штриховую линию на рис. 11.1).

Рис.11.1. Структурная схема системы обнаружения

Предположим, что на входе ОЭП имеет место аддитивная смесь полезного сигнала s и помехи п:

x = s + n,

причем х, s, п являются одномерными или многомерными функциями таких аргументов, как время, длина волны излучения, координаты в пространстве и т.д. Обозначим через Р_s(х) и Р_п(х) условные априорные вероятности получения смеси при условиях, что в ней присутствует или отсутствует сигнал s соответственно. Очевидно, что

P_s ( x )+ P_n ( x ) = 1.

Для безусловных вероятностей наличия р и отсутствия q сигнала также очевидно, что p+q=1.

Простейшая задача обнаружения сводится к тому, что ОЭП должен дать правильный ответ на вопрос: есть ли в угловом поле (поле обзора) искомый излучающий объект или его нет? Эти два случая принято называть правильным обнаружением и правильным необнаружением. Двумя другими, альтернативными первым, случаями являются «ложная тревога », когда полезного сигнала нет, но уровень помех превышает некоторый необходимый для правильного срабатывания ОЭП уровень х₀, и «пропуск сигнала », когда объект находится в угловом поле, но сумма х сигнала s и помех п не превышает х₀.

Если плотности вероятности случайных функций, описывающих смесь сигнала и помех и только помехи, обозначить через р_x и р_п соответственно, то условная вероятность правильного обнаружения определяется как

 (11.2)

а условная вероятность пропуска сигнала

В отсутствие сигнала можно принять ложное решение, оцениваемое условной вероятностью ложной тревоги:

 (11.3)

Условная вероятность правильного необнаружения

Графическая интерпретация этих выражений представлена на рис. 11.2. Площади кривых p_n и р_x, описывающих законы распределения вероятностей помех и смеси сигнала с помехами и ограниченных с одной стороны выбранным значением порога срабатывания х₀, равны вероятностям F, 1_F, D и 1_D. Величина характеризует математическое ожидание помех, а — математическое ожидание смеси сигнала s с помехами п. Иногда в качестве принимают некоторое среднее значение сигнала, например потока, приходящего на входной зрачок ОЭП.

Рис.11.2. Условные плотности вероятности помехи и смеси сигнала с помехой

Очевидно, что чем больше х₀, тем меньше вероятность ложной тревоги F. Однако при этом возрастает вероятность пропуска сигнала 1—D, а кроме того, необходимо обеспечить выполнение более высоких требований к параметрам ОЭП, например увеличить мощность источника сигнала, увеличить площадь входного зрачка, чтобы сместить значение , т. е. и всю кривую вправо по оси х. При больших сигналах уровень срабатывания х₀ выбирают достаточно высоким; при слабых сигналах значение х₀ приближается к . Выбор величины х₀ связан с необходимостью обеспечить требуемое отношение сигнал/помеха, о чем будет сказано ниже.

Зная законы распределения вероятностей р_s(х)»р _х(х) и р_п(х), можно рассчитать отношение правдоподобияL=р_s(х)/р _п(х). Затем можно принять решение о наличии сигнала (срабатывании прибора), которое происходит в том случае, если L превышает некоторое пороговое значение. Например, может быть определено, что отношение L>q/p. Зная вероятности (1-D) и F, можно определить так называемую функцию потерь:

L = K ₁ (1- D )+K ₂ F ,

где K₁ и K₂ — коэффициенты, определяющие долю ущерба, который вызывает пропуск сигнала и ложная тревога.

При оценке оптимальности фильтра обнаружения применяют различные критерии (Байеса, Неймана-Пирсона, Котельникова и др.). Например, в соответствии с критерием Котельникова (критерий идеального наблюдателя) оптимальным считается тот фильтр (ОЭП), для которого вероятности пропуска сигнала 1-D и ложной тревоги F минимальны. Оптимальный фильтр по критерию Неймана-Пирсона минимизирует одну из величин 1-D или F при данном значении второй.

Для случая, когда на вход прибора поступает аддитивная смесь х(a) полезного сигнала s(a) и гауссовской (нормальной) помехи n(a), с точностью до несущественных величин отношение правдоподобия приводится к виду

 (11.4)

где a — параметр, по которому оценивается качество приема (время, пространственная координата и т.п.).

Из (11.4) следует, что максимальное правдоподобие между переданным s(a) и принятым х(a) сигналами достигается при обеспечении максимума их функции взаимной корреляции, т.е. идеальный приемник должен быть приемником корреляционного типа. Реализация идеального приемника связана с большими трудностями, поэтому на практике обычно используют другие методы приема сигналов при наличии помех.

В том случае, если сигнал s(a) заранее известен и его нужно только обнаружить, можно довольно просто определить частотную характеристику оптимального фильтра. Сравним полученное ранее (см. § 2.1) выражение для сигнала на выходе системы (линейного фильтра) с импульсной характеристикой h(a):

и отношение правдоподобия для оптимальной приемной системы (11.4).

Очевидно, что для оптимального приема, т.е. для достижения максимальной идентичности этих двух выражений, необходимо обеспечить идентичность функций h(b-a) и s(a). Поскольку аргумент a входит в h и s с разными знаками, нужна идентичность не просто функций h(a) и s(a), но идентичность одной из них, например h(a), зеркальному изображению другой -s(-a), т. е. необходимо, чтобы

 (11.5)

Величина a₀ учитывает возможный (но не обязательный) сдвиг начал отсчета функций s и h и влияет только на фазу выходного сигнала. Для пространственных фильтров, в отличие от временных, часто этот сдвиг можно принять равным нулю, т.е. принять, что выходной и входной сигналы формируются в одной системе координат (a₀=0). Поэтому можно записать

Таким образом, импульсная характеристика оптимальной системы обнаружения с точностью до постоянного множителя А₀ является зеркальным изображением полезного входного сигналаs(a) (рис. 11.3). Величина A₀ это постоянный, не зависящий от a, коэффициент, который учитывает нормирование функций h и s, а также различие в их размерностях. Например, если импульсная характеристика оптико-электронной системы безразмерна, то А₀ имеет размерность, обратную размерности сигнала s(a). В том случае, если функции s и h, выраженные в абсолютных значениях представляемых ими физических величин, рассматриваются в различных точках системы, например s(a) характеризует пространственное распределение яркости L на входе объектива, а h(a) — распределение освещенности Е в изображении точечного источника, коэффициент А₀ должен учитывать переход от пространства объектов к пространству изображений, т.е. переход от L к Е.

Рис.11.3. Импульсная реакция оптимального фильтра

Условие оптимальности фильтра обнаружения можно найти и несколько другим путем. Если представить выходной сигнал как сумму полезного сигнала и шума, т.е. y(b)=y_с(b)+y _ш(b), причем

то можно заметить, что сигнал у_с(b) является функцией взаимной корреляции s и h, которая будет максимальной (т.е. и отношение сигнал/шум будет максимальным) при идентичности s и h, при h(a)ºs(-a).

Найдем передаточную функцию оптимального фильтра. Для этого преобразуем по Фурье выражение (11.5). С учетом теоремы запаздывания получим

 (11.6)

где S*(jw_a) — функция, комплексно-сопряженная спектру входного сигнала s(a);w_a — частота; a — параметр, по которому ведется анализ (угол, время и т.д.).

Из (11.6) следует, что при условии равенства модулей |S*(jw_a)|=|S(j w_a)| имеем

 (11.7)

т.е. амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра при сделанных выше допущениях с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром входного сигнала.

Такой оптимальный фильтр называется согласованным, поскольку его частотная характеристика целиком определяется спектром сигнала, т.е. должна быть согласована с ним. В данном случае принималось, что спектр помехи равномерен в диапазоне частот, занимаемом спектром сигнала.

Найдем выражение для сигнала на выходе оптимального фильтра. Применяя обратное преобразование Фурье к спектру сигнала на выходе фильтра:

и подставляя в полученное уравнение (11.6), получаем

Учитывая, что S(jw_a)·S*(j w_a)=|S(jw_a)| ², а также пренебрегая фазовым сдвигом выходного сигнала, т.е. принимая a=a₀, получаем

В соответствии с равенством Парсеваля интеграл

есть полная энергия сигнала, т.е. пиковое значение выходного сигнала

 (11.8)

В том случае, когда на входе системы имеет место гауссовский шум (помеха) со спектральной плотностью на входе F_ш(w_a)=const=F_ш , то и на выходе оптимального фильтра шум останется гауссовским. Спектр мощности помех на выходе фильтра

Дисперсия шума на выходе

 (11.9)

Тогда с учетом (11.7) — (11.9) отношение мощностей сигнал/по меха на выходе оптимального фильтра можно представить в следующем виде:

 (11.10)

Таким образом, максимально достижимое отношение сигнал/помеха зависит только от энергии Q входного сигнала и спектральной плотности мощности F_ш белого шума на входе фильтра.

Выражение (11.10) было получено для случая F_ш=const, т.е. для шума с равномерной спектральной плотностью в рабочей полосе пропускания. Для шума, спектр которого описывается функцией F_ш(w_a), рассуждая аналогично и применяя неравенство Буняковского-Шварца [24, 30], можно получить более общее выражение для отношения сигнал/помеха (сигнал/шум) в случае оптимального фильтра:

 (11.11)

Частотная характеристика оптимального фильтра в этом случае имеет вид

 (11.12)

где В₀ — некоторая постоянная, аналогичная А₀.

Хотя выражения (11.10) и (11.11) получены для идеализированных, оптимальных, систем, их можно использовать и в практике расчета реальных приборов, так как они позволяют рассчитать предельно достижимые значения отношений сигнал/помеха, а также установить критерий качества реальных приборов по степени их приближения к оптимальным вариантам.

Все приведенные выше рассуждения и выводы действительны не только для одномерных функций, но и для многомерных представлений сигналов и помех, в простейшем случае — двумерных. Например, выражение (11.12) в двумерной форме можно представить в следующем виде:

К сожалению, даже в простейших практических случаях реализация согласованных фильтров, особенно оптических, т.е. в оптическом спектральном и пространственно-частотном диапазонах спектра, затруднена. Поэтому обычным способом фильтрации является согласование полосы пропускания фильтра с полосой частот, занимаемой полезным сигналом, т.е. квазиоптимальная фильтрация. Хорошо известна связь между шириной спектра сигнала в виде одиночного импульса Dw_a и шириной импульса Da₀: Dw_aDa₀=const. Например, для прямоугольного импульса иногда выбирают полосу Dw_a»8,6/Da₀. В этом случае отношение сигнал/помеха уменьшается приблизительно на 18% по сравнению с согласованным фильтром.

При входном сигнале в виде прерывистой последовательности («пачки») импульсов, что часто встречается в ОЭП, частотная характеристика согласованного фильтра заметно усложняется. Она становится гребенчатой, состоящей из ряда полос, соответствующих значениям основных гармоник сигнала. В ряде случаев обычно ограничиваются первой полуволной спектра одиночных импульсов, из которых составлена пачка, т.е. полосой 1/Da₀. Требуемое число узкополосных фильтров, т.е. число узких полос в характеристике фильтра, в этом случае равно скважности импульсов N. В ОЭП при фильтрации по оптическому или пространственному спектру, т. е. во входных звеньях прибора, очень трудно, а часто и невозможно создать гребенчатые фильтры. Это объясняется чаще всего большой сложностью технологии изготовления многополосных светофильтров с заданной спектральной характеристикой, невозможностью создать такие пространственно -частотные фильтры при приеме некогерентных оптических сигналов.

Использование лазера в качестве источника излучения при активном методе работы ОЭП позволяет применить к решению рассматриваемой здесь проблемы средства когерентной оптики и методы когерентного приема, разработанные и освоенные в радиолокации. Известны системы обработки оптической информации, использующие когерентное излучение и пространственно-частотные гребенчатые фильтры.

В литературе описаны и другие типы оптимальных фильтров, например, так называемый вероятностно-взвешенный фильтр, который применяется, если на вход поступает известный сигнал, но положение его во входной плоскости (в системе координат на входе) неизвестно. Параметры этого фильтра рассчитывают или подбирают таким образом, чтобы улучшить характеристики обнаружения сигнала. Вероятностно-взвешенный фильтр является оптимальным в случае больших отношений сигнал/помеха.