Пример расчёта плоской составной рамы

    Требуется рассчитать раму, изображённую на рис. 2.70, согласно указаниям, приведённым на с. 111. Принять EA = 0,5 м ^{– 2} EI.

 

 

Кинематический анализ

1. Проверка условия

W < 0, где W = 3D  –      

– (3П + 2H + C + C0):

D = 5 ( AL, KC, CDB,

BG и DJP ); П = 0;

H = 4; С = 1 (AK); С0 = 6;

W = 3∙5 – (0 + 2∙4 + 1 + 6) = 0.                      

 

2. Структурный анализ: BG + «земля» = ГНС₁; AK + KC + LA = D₁ (трёхшарнирный); ГНС₁ + BDC + D₁ = ГНС₂ (трёхшарнирная сис-тема); ГНС₂ + DJP = ГНС. Все связи наложены правильно.   

 

 

Определение внутренних усилий в раме и построение их эпюр

    Как видно из структурного анализа, рама является составной системой с главной частью BG и второстепенными AKLCDB (ВЧ₁) и DJP (ВЧ₂). Порядок расчёта рамы: ВЧ₂ ВЧ₁ ГЧ.   

 

y

    Для ВЧ₂ ( рис. 2.71 ):

S m_D = 0 V_P = (F∙3 + q∙4∙2) /6 = 27 кН;

S x = 0   H_D = q∙4 = 36 кН;  

S y = 0   V_D = F – H_D  = 3 кН.

    Эпюры внутренних силовых факторов в ВЧ₂  даны на рис. 2.72.     

 

 

 

Замечание. Эпюра M может быть построена без определения опорных реакций: на участке JP и дополнительная на DJ от нагрузки F – как типовые из табл. 1.2. Эпюра Q – по M ( см. с. 19 – 20 ),  N – из условий равновесия узла J.

 

    n, - 20 з табл. от нагрузки Аления опорных реакций далее  рассматриваем трёхшарнирную второстепенную часть ВЧ₁ ( рис. 2.73, а ). Шарниры A и B находятся на разных уровнях, и при этом ключевой шарнир С

не располагается ни на общей вертикали,  ни на общей горизонтали с каким-либо из опорных шарниров. Поэтому реакции связей определяем по алгоритму, изложенному на с. 101 –103. Кроме нагрузок, приложенных к ВЧ₁, учитываем давление, которое на неё оказывает ВЧ₂ ( направления H_D и V_D – противоположные показанным на рис. 2.72 ).

 

 

S m_A = 0 = (V_D∙ 6 + M – H_D∙ 6) /6 = – 23 кН;

S m_B = 0 = (H_D∙ 4 + q ∙6∙6 – M ) /6 = 68 кН;

S x = 0

Рис. 2.73

    Для определения  рассматриваем

правую часть ТШС ( рис. 2.73, б) и записы-

ваем уравнение равновесия моментов относительно точки С:

, где f ' = 5 м ∙cos a₀ ( рис. 2.73, б );

получаем –15,6 / cos a₀ .  Из третьего уравнения  вышеприве-

дённой системы условий статики всей ВЧ₁ находим

                     H_D / cos a₀ = 20,4 / cos a₀ .

    Для дальнейших расчётов удобно перейти к вертикальным и горизонтальным составляющим реакций ( по ( 2.17 ) – ( 2.19 )):

               V_A = + sin a₀ = 68 + 20,4 tg a₀ = 74,8 кН ;

           V_B =  – sin a₀ = – 23 – (–15,6) tg a₀ = –17,8 кН ;

         H_A = cos a₀ = 20,4 кН ;   H_B = cos a₀ = –15,6 кН.

    Проверку полученных значений реакций выполняем с помощью ранее не использованных уравнений равновесия:

– для левой половины ВЧ₁ ( рис. 2.73, а ): H_A∙6 –

 – V_A∙3 + q∙6∙3 – M = 122,4 – 224,4 + 162 – 60 = 0;

– для вcей ВЧ₁: S y = 0 (?)  V_A +V_B – V_D – q∙6 = 74,8 –17,8 – 3 – 54 = 0.

    Внутренние силовые факторы в сечениях стержней, образующих трёхшарнирный контур AKL в составе ВЧ₁ , невозможно определить, пока этот контур не «раскрыт», т. е. не найдены силы взаимодействия между элементами в узлах A, K и L . Указанный фрагмент представляет собой трёхшарнирную систему с наклонной затяжкой, роль которой играет незагруженный прямолинейный  элемент AK  с шарнирами по концам, ра-

ботающий на осевое растяжение-сжатие. При

этом  L  можно  рассматривать  как  ключевой  

шарнир. Отделив сечением I – I по шарниру L

и  стержню  AK  ( рис. 2.73, а )  нижнюю  часть

( рис. 2.74 ),  из условия равновесия   

вычисляем продольную силу в стержне AK:

N_AK = ( H_A ∙ 5 – M ) / h_N ,  где  h_N = 5 м ∙ sin b = 3 м;

                      N_AK = 14 кН.  

 

                         

      

 

Далее находим H_L = – 12 кН; V_L = – 86 кН.

 

 

    Реакции опоры главной части ( рис. 2.75 ) отыс-

киваются в последнюю очередь: H_G = – H_B ; V_G = V_B ;

M_G = H_B ∙ 2 м.

 

 

Используя известные из курса сопротивления материалов правила и приёмы определения внутренних силовых факторов в стержнях с прямолинейными и ломаными осями, строим эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил – они показаны на рис. 2.76, причём в пределах ВЧ2 эпюры – полученные ранее ( см. рис. 2.72 ). 

Для примера рассмотрим наиболее сложный

 

 

участок KL ( рис. 2.77 ). Усилие N_AK = 14 кН в стержне AK, приложенное на конце участка в точке K, для удобства раскладываем на  вертикальную  и  горизонтальную составляющие 14 cos b =11,2 и 14 sin b = 8,4.

 

M(x) = – qx ²/2 – 11,2 x – 8,4 x tg g ;

Q(x) = – ( qx + 11,2 ) cos g – 8,4 sin g ;

N(x) = ( qx + 11,2 ) sin g – 8,4 cos g ,  где

g = arctg 1/3; sin g = 0,3162; cos g = 0,9487.

    При x = 0 и x = 3 получаем значения усилий, указанные на рис. 2.76.                           

 

    Контроль результатов расчёта осуществляем проверкой рав-новесия узлов и отсечённых частей рамы. Вырезав узел L, прикладываем к нему силовые факторы, «считанные» ( с учётом знаков ) с эпюр M, Q и N ( рис. 2.78, а_,).

S m_L = 82,5 – 82,5 + 60 – 60 = 0; 

S x = 15 + (38,9 + 38,9 ) sin g –

  – (4,11 + 34,47) cos g = – 0,0005 0;           

S y = 86 – (38,9 + 38,9 ) cos g –                   

  – (4,11 + 34,47) sin g = – 0,008 0. 

    Для узла D ( рис. 2.78, б_,):

    S m_L = 62,4 – 62,4 = 0;

    S x = 20,4 + 15,6 – 36 = 0;

    S y = 20,8 – 17,8 – 3 = 0.    

 

              

    Аналогично проверяем равнове-

сие и других узлов, включая опорный A.        Рис. 2.78         

    Рассматриваем также некоторую отсечённую часть рамы, например, показанную на рис. 2.79.

S m_C= 11,2∙6 + 8,4∙2 + 36 – 60 + + 12∙3 – 86∙3 + q∙6∙3 + 62,4 –

– 17,8∙3 – 30∙6 + 27∙9 – 72 = 0;

S x = 8,4 + 12 + 15,6 – 36 = 0;

S y = – 11,2 + 86 – q∙6 – 17,8 –

    – 30 + 27 = 0.   

 

Для большей надёжности целесообразно выполнить проверку равновесия ещё одной-двух отсечённых частей и рамы в целом.

 

Определение перемещений от заданной нагрузки

    Для отыскания угла поворота узла D рамы и вертикального перемещения точки K  применяем метод Максвелла – Мора ( см. п. 1.5 и [1 – 4 ] ). Основным видом деформации всех элементов си-стемы, кроме AK, является изгиб, а стержень AK при заданной на-грузке испытывает чистое растяжение. Поэтому формулу Мак-свелла – Мора ( 1.27 )  используем в сокращённом виде ( без учёта податливости связей, так как все опоры жёсткие; а также сдвигов и продольных деформаций изгибаемых элементов ), принимая во внимание то, что в пределах j-го участка EI(x_j) = const = EI_j :         

462.3

    

Переобозначив искомые перемещения j_D D_1F и v _K D_2F , для их определения дополнительно рассматриваем два вспомогательных единичных ( фиктивных ) состояния рамы:

Ø с равным 1 моментом в узле D ( рис. 2.80, а );

Ø с единичной вертикальной силой в точке K ( рис. 2.80, б ).   

 

Для определения усилий в единичных состояниях рамы выполняем расчёты по той же схеме, что в случае действия заданной нагрузки ( см. выше ). При этом учитываем, что оба единичных воздействия приложены к части ВЧ₁ ( см. с. 122 ), следовательно, самая второстепенная часть ВЧ₂ не работает. В результате получаем  эпюры изгибающих моментов  M₁ и  M₂ ( рис. 2.80, в, г ) и находим  N_{AK, 1} = 1 / 6;  N_{AK, 2} =  –1 / 2.   

    Вычисление интегралов в формуле Максвелла – Мора – «пе-ремножение» единичной и «грузовой» эпюр – производим по фор-муле Симпсона ( см. с. 40 ) на участках KL, LC, DG и по правилу Верещагина ( см. с. 39 ) на участке CD ( число участков m_M = 4 ):

92

    Знаки «+» у найденных j_D и v _K означают, что каждое из этих перемещений направлено в ту же сторону, что и соответствующее единичное воздействие, т. е. j_D – против хода часовой стрел-ки, v _K – вниз.

Ф а к у л ь т а т и в н о: