Оценка американских колл- и пут-опционов

Американские опционы могут быть исполнены в любой момент до истечения их срока. До момента истечения срока по опционам в момент времени t будут верны неравенства:

                                                           (28)

                                                            (29)

Это означает, что в момент времени t премии по американским опционам пут и колл будут по крайней мере равны внутренней стоимости этих опционов, т.е. долгосрочный американский опцион будет стоить по крайней мере так же дорого, как и менее долгосрочный опцион американского типа.

Колл-опцион с S_t>E и пут-опцион с E>S_t называются опционами «при деньгах». Если цена исполнения и текущая цена базисного актива примерно совпадают, тогда опцион торгуется у точки безубыточности. Если же S_t<E у колл-опциона и E<S_t у пут-опциона, то такие опционы называются опционами «без денег».

Разница между премией и внутренней стоимостью всегда неотрицательна и называется временной стоимостью опциона. Так временную стоимость американского колл-опциона можно выразить:

                                                            (30)

Временная стоимость существует и означает, что участники рынка готовы платить за опцион больше, чем то, что опцион может принести при его немедленном исполнении. Для двух последних числовых примеров с опционами на швейцарский франк и евро можно составить неравенства, показывающие наличие у опционов внутренней стоимости:

для колл-опциона по франку:

для пут-опциона по евро:

Для опционов европейского типа рамки для размеров премии более сложные, т.к. они могут быть исполнены только по истечении их срока. Рассмотрим стоимость и выплаты по двум портфелям, которые бы мог составить инвестор. Один портфель включает покупку европейского колл-опциона и вложение денег в размере, равном текущей стоимости цены исполнения, E. Вложение денег производится по американской процентной ставке , которая соотносится с длительностью инвестиционного периода. Стоимость этих инвестиций равна:

.                                                             (31)

Если при истечении срока опциона S_T<E, то опцион не будет исполнен, если S_T>E, то владелец исполнит опцион и получит прибыль S_T-E >0. По кредиту будет выплачено E.

Инвестор может также составить другой портфель, состоящий из вложения одной единицы иностранной валюты i по соответствующей процентной ставке . В долларовом выражении стоимость такого портфеля будет:

.                                                                  (32)

Независимо от положения дел на момент T эта инвестиция выплатит 1 ден. единицу иностранной валюты, что в долларовом выражении будет S_T. При S_T>E оба портфеля обладают одинаковыми выплатами (S_T). Если же S_T<E, то первый портфель даёт инвестору больше. При рациональном рынке первый портфель будет стоить как минимум столько же, сколько и второй:

,                                                         (33)

откуда получим: .                                     (34)

Для европейского пут-опциона премия может быть оценена аналогичным образом:

.                                                       (35)