Оценка европейских опционов

Для оценки европейских опционов применяется формула Блэка-Скоулза:

 

                                               (36)

 

                                           (37)

 

Ставки и должны быть постоянны в течение всего срока действия опциона. T – срок действия опциона в годах. Переменные d₁ и d₂ рассчитываются по формулам:

 

,                                                         (37)

 

                                                                              (38)

 

N(d) обозначает область под плотностью вероятности нормального закона распределения на отрезке (-∞, d), т.е. это значение функции Лапласа. Переменная σ является годовой волатильностью обменных курсов. Модель можно представить также в виде:

                                            (39)

                                        (40)

 

Рассмотрим пример с американским колл-опционом на швейцарский франк с ценой исполнения 0,67 долл. за франк. Для оценки премии по данному опциону будем использовать формулу для оценки европейских опционов. На практике премии по данным типам опционов различаются крайне незначительно.

Опцион истекает через 66 дней или 0,1808 года. Фьючерсные котировки для аналогичного периода F_T = 0,6433 долл. за франк.  - 2-месячная процентная ставка по евродолларовым депозитам, равная 5,125% годовых. Годовая волатильность обменного курса франка к доллару σ = 10,7%.

Прежде всего необходимо рассчитать d₁ и d₂:

 

 

Из таблицы функции Лапласа получим:

 

N(d₁) = N(-0,8713) = 0,1918

N(d₂) = N(-0,9168) = 0,1796

 

Отсюда можно получить премию по европейскому колл-опциону:

 

 цента за франк.

 

 

Свопы

 

Различают процентный и валютный свопы.

В свопе на процентную ставку одна сторона обменивает процентные выплаты по долговому обязательству с плавающей процентной ставкой на процентные выплаты по долговому обязательству с фиксированной процентной ставкой другой стороны. Важным является то, что оба долговых обязательства выражены в одной валюте. Причины использования свопа на процентную ставку – лучшее сопоставление оттоков с притоками наличности и экономия на затратах. Существует несколько вариантов базового свопа на процентную ставку.

В валютном свопе одна сторона обменивает обязательства по обслуживанию долга по облигации, выраженной в одной валюте, на обязательства другой стороны по обслуживанию долга по облигации, выраженной в другой валюте. Базовый вариант валютного свопа включает обмен одних процентных выплат с фиксированным процентом на другие процентные выплаты с фиксированным процентом. Причины использования валютного свопа состоят в получении средств на обслуживание долга в другой валюте а также в хеджировании долгосрочного валютного риска.

В свопах на процентную ставку основной долг никуда не обменивается, при это на момент начала соглашения основной долг эквивалентен. При изменении процентных ставок будут изменяться и потоки наличных средств, при этом стороны соглашения уже не будут находиться в равновесии. Это и есть риск процентной ставки, расхождение может составлять от 2 до 4% от основного долга.

Исторически рынок валютных свопов появился первым. На сегодняшний день, однако, его превосходит рынок процентных свопов. Наиболее частыми валютами для процентных и валютных свопов являются доллар, евро, британский фунт и швейцарский франк.

В соглашении свопа немаловажную роль играет банк, обслуживающий своп. Это финансовая организация, облегчающая и обеспечивающая выполнение сделки между сторонами. В качестве своп-банка может выступать международный коммерческий банк, инвестиционный или торговый банк. Своп-банк выступает при этом или брокером, или дилером. Как брокер банк сводит продавца и покупателя, не беря при этом на себя никакого риска. Своповый брокер получает за свой сервис комиссионное вознаграждение. На сегодняшний день большинство своп-банков выступают в качестве дилеров. В этом качестве банк является стороной сделки и после передаёт сделку другой стороне. При этом банк берёт на себя некоторый риск, который компенсируется тем, что банк получает часть идущих через него денежных потоков.

Процентные свопы. Базовый вариант процентного свопа можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим обмен фиксированной процентных платежей на платежи с плавающей процентной ставкой. Пусть некий международный банк А, расположенный в Великобритании, будет банком с кредитным рейтингом ААА. Данному банку необходимо 10 млн. долл. для финансирования евродолларовых займов (своим клиентам) с плавающей процентной ставкой. Для этого у банка есть две возможности:

· выпуск пятилетних долговых расписок с плавающей процентной ставкой, привязанной к LIBOR;

· выпуск пятилетних евродолларовых облигаций под 10% годовых.

Банку А разумно было бы прибегнуть к первому варианту (т.н. расписка по форвардной процентной ставке, FRN) для финансирования активов с плавающей процентной ставкой с помощью обязательств с плавающей процентной ставкой. При этом банк избегает риска, связанного с фиксированной процентной ставкой. При этом есть риск того, что банк будет платить по займам более высокую процентную ставку, если LIBOR упадёт.

В нашем примере есть также компания В, являющаяся компанией из США с кредитным рейтингом BBB. Американской компании необходимо финансировать некоторый расходы в сумме 10 млн. долл.на срок 5 лет. При этом компания также рассматривает две возможности:

· выпуск пятилетних облигаций с фиксированным процентом на американском рынке;

· выпуск пятилетних FRN по ставке LIBOR+0,5%.

 

Долговые обязательства с фиксированным процентом имеют смысл в данном случае, так как компания таким образом фиксирует стоимость кредита. Плавающая процентная ставка при этом не является оптимальным решением, т.к. LIBOR меняется и может сделать проект убыточным.

Своп-банк, знающий и о потребностях и банка А, и компании В, может предоставить своп по обмену фиксированного процента на плавающий, при этом все стороны соглашения своп будут заинтересованы в нём.

Важным условием интереса всех сторон соглашения является наличие т.н. спредовой разницы, т.е. разницы между премией за риск по долгу с фиксированным процентом и премией за риск по долгу с плавающим процентом. В общем случае первая должна быть больше второй, т.к. Кривая доходности по долгам с более низким рейтингом имеет тенденцию быть выше, чем кривая доходности по долгам с более высоким рейтингом, так как займодатели имеют возможность не продлевать краткосрочные долги и, таким образом, им не надо заботиться о фиксации более высокой премии за риск. Таблица показывает расчет спредовой разницы для данного примера:

 

	Компания В	Банк А	Разница
Фиксированный %	11,75%	10,00%	1,75%
Плавающий %	LIBOR+0,5%	LIBOR	0,5%
		Спредовая разница	1,25%

 

При условии существования спредовой разницы для каждой стороны соглашения возникает стимул прибегнуть к альтернативному варианту заимствования денежных средств (который этой стороне менее выгоден), а далее обменять (свопировать) процентные выплаты так, чтобы каждая из сторон в итоге получила желаемые процентные выплаты, но с более низкими суммарными издержками, чем если бы сторона делала всё самостоятельно без заключения соглашения своп.

Из нижеприведённой схемы видно, что своп-банк указал компании В выпустить долговые обязательства с плавающей процентной ставкой по LIBOR+0,5% вместо более подходящих компании долговых обязательств под фиксированный процент – 11,75%. Компания В выплачивает в своп-банк при этом фиксированный процент 10,50% на номинал долга 10 млн. долл. и получает процентные выплаты в размере LIBOR-0,25% взамен. В итоге компания В платит 10,50% своп-банку и LIBOR+0,5% держателям облигаций, получая при этом выплаты по ставке LIBOR-0,25%. Суммарные затраты компании В на обслуживание долга составляют 11,25%. То есть соглашение своп позволило компании В обменять долг с плавающим процентом на долг с фиксированным процентом при суммарных выплатах на обслуживание долга ниже на 0,5% (по сравнению с возможностью получения долга под 11,75% годовых).

Рисунок 10. Схема процентного свопа

 

 

	Банк А	Своп-банк	Компания В
Платит	LIBOR-0,125% 10%	10,375% LIBOR-0,25%	10,50% LIBOR+0,5%
Получает	-10,375%	-10,50% -(LIBOR-0,125%)	-(LIBOR-0,25%)
Итого	LIBOR-0,5%	-0,25%	11,25%

 

Аналогично Банк А должен выпустить долговые обязательства под фиксированный процент (10% годовых) вместо более ему подходящего долга под плавающий процент. Банк А производит платежи своп-банку в размере LIBOR-0,125%, получая при этом 10,375% от своп-банка взамен. Суммарные расходы Банка А на обслуживание долга составляют LIBOR-0,5%. То есть посредством сделки своп Банк А осуществляет займ средств под процент более низкий, чем мог бы занять сам.

Своп-банк также остаётся с комиссионным вознаграждением (часть процентных выплат от операции своп. Своп-банк выплачивает участникам соглашения меньше, чем получает платежей от них. Так, своп-банк получает от Компании В 10,50% и от Банка А получает платежи в размере LIBOR-0,125%, платя при этом 10,375% (Банку А) и LIBOR-0,25% (Компании В). Чистый приток составляет 0,25% годовых от номинального объёма операции своп, т.е. от 10 млн. долл. В итоге Банк А и Компания В экономят по 0,50%, а своп-банк экономит 0,25%, что и составляет в сумме 1,25% или спредовую разницу.

Оценка процентных свопов. После заключения соглашения своп возможны ситуации, когда одна из сторон захочет выйти из свопа, что возможно сделать продав его. Стоимость процентного свопа должна соответствовать разнице в текущих стоимостях потоков платежей, которые сторона производит и получает. Рассмотрим к примеру Компанию В. Она выплачивает 10,50% годовых от номинала своп-банку, получая от него платежи в размере LIBOR-0,25%. Общая стоимость обслуживания долга для компании 11,25%. Предположим, что через год фиксированный процент упал с 10,50% до 9% для заёмщиков с рейтингом ВВВ. Текущая стоимость будущих платежей по долгам с плавающей процентной ставкой, получаемых Компанией В от своп-банка будет всегда основана на номинале основного долга – 10 млн. долл. Текущая стоимость гипотетической эмиссии облигаций на 10 млн. долл. с четырьмя оставшимися купонными выплатами по 10,50% при 9% на рынке будет 10 485 960 долл.:

 

долл.

 

Таким образом, стоимость свопа можно представить как разницу 10 000 000 долл. – 10 485 960 долл. = - 485 960 долл. Это означает, что Компании В нужно заплатить 495 960 долл. для выхода из свопа.

 

Валютные свопы

Валютные свопы возникли из параллельных и компенсационных кредитов, так как после распада Бреттон-Вудской системы необходимо было создать инструмент, позволяющий хеджировать долгосрочные валютные риски, связанные с изменениями валютных курсов.

 

Параллельные кредиты позволяют обойти некоторые валютные ограничения. Он включает четыре стороны. Рассмотрим фирму из Великобритании, владеющую филиалом в Канаде. Головная компания хочет финансировать некие расходы филиала в Канаде путём займа в Великобритании под 10% годовых. Далее займ конвертируется в канадские доллары. В случае существования финансового контроля со стороны государства, эта сделка будет обложена серьезным налогом. Выходом из данной ситуации был бы займ канадского филиала напрямую на канадском рынке. Стоимость займа будет, правда, довольно высока, поскольку британская фирма не очень известна на канадском рынке капитала. Предположим, что в данном примере фирме удастся договориться о процентной премии всего в 2% сверх обычной процентной ставки в 11% годовых. Предположим, что аналогичная ситуация существует и для канадской фирмы и её британского филиала. То есть канадская фирма может взять кредит в Канаде под 11% годовых или в Великобритании под 13% годовых. Возможно оформление займов головными офисами компаний на национальных рынках и передача этих денег в филиал другой компании. Канадская материнская компания передаёт заёмные средства британскому филиалу под 11% годовых (экономия для британского филиала 2%), британская же материнская компания передаёт денежные средства в долг канадскому филиалу под 10% годовых (экономия 3%). При этом не нарушается никаких валютных ограничений ни с одной из сторон.

 

Компенсационные кредиты. Данный кредит предусматривает 2 стороны соглашения, а не 4, как в параллельном кредите. В контексте предыдущего примера канадская и британская материнские компании кредитовали бы друг друга напрямую. Разница с параллельным кредитом в том, кого кредитует материнская компания. Однако данный вид займов труден в организации и связан с существенными затратами времени.

 

Пример валютного свопа. Предположим, что американская ТНК хочет финансировать затраты в своём немецком филиале. Проект рассчитан на 5 лет, общий объём затрат планируется на уровне 40 млн. евро. При текущем обменном курсе 0,90 долл. за евро материнская компания может собрать 36 млн. долларов на американском рынке под 8% годовых за счёт выпуска 5-летних облигаций. Далее материнская компания конвертирует доллары в евро по текущему курсу. Единственная возникающая проблема состоит в том, что создаётся подверженность риску, связанному с движением валютных курсов. Если доллар вырастет значительно, то европейскому филиалу будет уже сложнее обслуживать долг в долларах США.

Возможно также собрать и 40 млн. евро на международном рынке еврооблигаций (номинированных в евро). Можно также выпустить и национальные облигации в Германии. Однако, если ТНК не очень хорошо известна, то займ относительно более дешевых средств будет сильно затруднён. Материнская компания может взять в долг 40 млн. евро под 7% годовых на 5 лет, при том, что нормальная процентная ставка для известного заёмщика была бы 6%.

Предположим также, что и немецкая ТНК также имеет филиал в США который требует 36 млн. долл. финансирования на пятилетний период. Немецкая компания может занять на немецком рынке капитала, выпустив облигации на пять лет под 6% годовых на общий объём необходимых средств в 40 млн. евро. Далее провести конвертацию этих средств в доллары США на споте. Тут также возникает валютный риск. В случае, если евро подорожает, филиал не сможет обслуживать этот долг. Немецкая ТНК может также выпустить евродолларовые облигации («янки») на рынке США. Однако, фирма, не обладающая известностью, может выпустить облигации только под 9% годовых. Своп-банк, знающий потребности этих двух транснациональных компаний, может организовать валютный своп, решая при этом одновременно и проблему с валютным риском, и проблему с повышенной процентной ставкой. Своп-банк при этом организует займы каждой ТНК на национальных рынках, где имя фирмы известно. Суммы основного долга будут обменены в своп-банке. Каждый год немецкий филиал будет высылать в американскую материнскую компанию 2 400 000 евро (6% от 40 млн. евро) чтобы эта сумма прошла через своп-банк для немецкой ТНК, обслуживающей долг, номинированный в евро. Американский филиал будет высылать 2 880 000 долл. (8% от 36 млн. долл.) через своп-банк в американскую ТНК для оплаты процентов по займу в американских долларах. По окончании срока в 5 лет филиалы перешлют суммы основного долга в материнские компании, которые обменяют их через своп-банк.

Валютный своп помогает зафиксировать валютное соотношение для оплат процентов каждой стороной сделки На начальном этапе обмен сумм производится по текущему валютному курсу (36 млн. долл. на 40 млн. евро). Каждый год проценты по этим долгам составляют 2 880 000 долл. и 2 400 000 евро, что подразумевает обменный курс 0,8333 долл. за евро. При итоговом расчёте обменивается основной долг и процентные платежи за последний год. То есть 38 880 000 долл. обмениваются на 42 400 000 евро. То есть подразумевается, что по истечении пятилетнего периода обменный курс по данному соглашению своп составляет 0,9170. долл. за евро. Иными словами, можно утверждать, что валютный своп помогает зафиксировать курс для погашения обязательств по обслуживанию долга на все время соглашения.

Приведенный пример можно проиллюстрировать в виде следующей схемы:

 

Рисунок 11. Схема валютного свопа

 

Важно отметить эквивалентность обязательств по обслуживанию долга в валютном свопе. В этом примере на первый взгляд кажется, что немецкая сторона сделки не так сильно выигрывает от свопа, как американская, поскольку занимая на рынке под 6% (2 400 000 евро в год) она (т.е. немецкая ТНК) платит по обслуживанию долга 8% годовых (или 2 880 000 долл. в год). Здесь на самом деле ситуация корректируется паритетом процентных ставок. Нижеприведённая таблица показывает, что по сути взять в долг евро под 6% годовых это то же самое, что взять в долг доллары под 8% годовых.

 

	0	1	2	3	4	5	%
1. Ден. поток по долгу в евро	40	-2,4	-2,4	-2,4	-2,4	-42,4	6%
2. Ден. поток по долгу в долл.	36	-2,88	-2,88	-2,88	-2,88	-38,88	8%
3. Обменный курс свопа	0,9	0,833	0,833	0,833	0,833	0,917	-
4. Ожидаемый обм. курс	0,9	0,917	0,934	0,952	0,970	0,988	-
5. Эквив. ден. поток, евро	40	-3,14	-3,08	-3,03	-2,97	-39,35	6%
6. Эквив. ден. поток, долл.	36	-2,20	-2,24	-2,28	-2,33	-41,89	8%

 

В таблице строки 1 и 2 представляют собой поток платежей по долгу в евро и долларах соответственно. Строка 3 отражает обменный курс доллара к евро в рамках свопа. Строка 4 – ожидаемый обменный курс – представляет собой ожидания участников рынка и сторон соглашения своп по поводу будущего значения курса спот, которое базируется на паритете процентных ставок, согласно которому в рамках данного примера можно утверждать, что S_t($/?) = S₀ (1,08/1,06)^t. Поэтому 0,917 = 0,9*(1,08/1,06)¹. Строки 5 и 6 представляют собой денежные потоки в долларах и евро, рассчитанные на основе предыдущих строк. Так, в частности, первый эквивалентный платёж по долгу в евро - 3,14 млн. евро рассчитан как долларовый платеж по долгу в долларах (строка 2), пересчитанный в евро по ожидаемому обменному курсу, т.е. 2,88/0,917 = 3,14 млн. евро. Эти расчёты показывают, что без свопа немецкой ТНК пришлось бы занять средства в евро и далее переводить в доллары, обслуживая долг также платежами в евро. Заимодателю 40 млн. евро будет в итоге безразлично каким образом будет погашать долг должник – либо платежами согласно строки 1, либо платежами из строки 5. Однако для заёмщика платежи из строки 1 свободны от риска, связанного с изменениями обменного курса, а платежи из строки 5 зависят от обменного курса и поэтому заёмщик предпочтёт именно сделку своп, несмотря на эквивалентность этих потоков платежей.

Строку 6 можно представить как результат преобразования 6%-ных платежей строки 1 через ожидаемый обменный курс в 8%-ные платежи, имеющие своей текущей стоимостью сумму в 36 млн. долл. Аналогично, заимодателю не будет никакой разницы в погашении долга по строке 6 или по строке 2, однако заёмщик в силу отсутствия риска обменного курса предпочтёт погашать долг по сроке 2.

Оценка валютного свопа может представлять интерес для сторон соглашения, если они захотят выйти из соглашения своп (т.е. продать его). Предположим, что через год после заключения соглашения своп процентные ставки в Германии и в США снизились. Скажем, в США процентная ставка упала до 6,75% годовых, в Германии до 6% годовых. При этом также это будет иметь воздействие и на ожидаемый обменный курс, который сдвинется в сторону усиления доллара, с уровня 0,917 до 0,915 долл. за евро. Логично предположить, что при снижении ставок одна или обе стороны свопа захотят выйти из соглашения и оформить новый долг под более низкий процент. Рыночная стоимость долга в долларах будет 37 532 887 долл., что составляется четырьмя оставшимися купонными выплатами и основным долгом с учётом ставки дисконтирования 6,75% годовых. Рыночная стоимость долга в евро составляет 41 418 380 евро (с учётом ставки дисконтирования 5%).

Американская сторона свопа захочет выкупить свои обязательства по сделке за 37 532 887 - 41 418 380*0,915 = -364 931 долл. То есть американская сторона соглашения будет готова заплатить 364 931 долл. за отказ от потока платежей в долларах, который бы она получала по соглашению своп, взамен отмены необходимости осуществлять платежи в евро. После этого американская сторона может оформить новый долг уже под 6,75% годовых и, возможно, зайти в новый своп.

Со стороны немецкой компании своп имеет стоимость 41 418 380 - 37 532 887/0,915 = 398 831 евро. Немецкая сторона будет готова получить за выход из свопа 398 831 евро, то есть отказаться от получения потока платежей в евро взамен отмены необходимости осуществления платежа в долларах. Также и немецкая сторона сможет перефинансировать долг под 5% годовых.