ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 1 страница
Работа Скворцова Александра Петровича, Учителя, ветерана педагогического труда Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма Содержание Общее утверждение Утверждение 1 Доказательство Части первой «Утверждения 1» Доказательство Части второй «Утверждения 1» Пример Примечание «Вывод» о Великой теореме Ферма (простое) Утверждение 2 Доказательство Части первой «Утверждения 2» Доказательство Части второй «Утверждения 2» Примечание Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма Утверждение 3 Доказательство Части первой «Утверждения 3» Доказательство Части второй «Утверждения 3» Примечание Общий вывод Литература Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число, и - целые числа, , , - =натуральные числа. Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе. Этот метод позволяет: 1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено). 2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33). 3. Судить о возможности существования частного решения уравнения при (илиb = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие: а) b = ±1; c = ±3; a = 2. б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33). 4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено). 5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения). 6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).
**********
Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом. И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения». ≥ ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 1. Уравнение ( , - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. 2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо . ***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая для показателя q: 1) при - натуральном; 2) при - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .
Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя
Часть 1 Уравнение ( , - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Часть 2 Возможны случаи: либо , либо . **********
Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.
********* Часть первая (Утверждения 1) Уравнение ( , - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Доказательство
Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого. Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо. Из уравнения (1) следует: (2),
где - четное целое число, т.к. и - нечетные; ≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю; - нечетное целое число при и - нечетных, - простом.
******** Примечание
То, что - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел. Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома Ньютона , , , … и тогда получим для : - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу. Для : - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу. Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных (3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23). *******
Пусть (4),
где - нечетное число (на основании (3)). Тогда уравнение (2) примет вид:
(5),
где - четное число, которое можно представить в виде
(6),
где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),
(4) – нечетное число.
Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем: , т.е. (7), где - целое число ( ), - натуральное число. Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.
(8),
где - целое число ( , т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю). Из (7) и (8) определим и : => =>
Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .
******** Вывод: На основании (8) и (11) имеем: (13) - нечетное число; из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при . Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:
Таким образом, получили следующее уравнение:
(15), где - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(16) - нечетное число при - нечетном; (17) - нечетное число при - нечетном; (18) - нечетное число при - нечетном; (19) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r =0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r =0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению). ******* Примечание.
Общий вид уравнения (15) следующий:
(20) ,
целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:
(21) ; (22) ; (23) ; (24) , где - целые числа. То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е. = С = В = N = К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1. Условие1 (начало). с = С b = B n = N
Случай «+». (16+) = С - нечетное число при - нечетном; (17+) = В - нечетное число при - нечетном; (18+) = N - нечетное число при - нечетном; (19+) = К - четное число. Казалось бы, все в порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. Однако не все так просто. Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа . Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (245)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |