Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим

 

 => .

 

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

 

, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

 (28), ,

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

 

(30´), => c = (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где

 

- взаимно простые нечетные целые числа.

Случай 3

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) ,

 

 которые также являются решениями уравнения

 

   (11).

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

 

-  => .

Выразим из (31) и (16) :

 

 =>  (32)

 => (33).

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

 (34), (35), а их сумма .

 

Т.к. из (4) c ² + b ² = 2 β, то  и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

 

, т.е.  (24´).

 

Т.о., , ,

 

где , т.е.

,

,

 

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

 

 

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 

т.к. , т.е. .

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b ² :

 

,т.к. из (20) получается

.

 

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

 

, т.е.  (30´´).

 

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´), ,

   (28),  (24´),

 

где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********

Случай 4

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), =>b= (28´ ),  (24),

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

 

= С

= В

 = N

 = К.

 

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

 

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

 

Рассмотрим еще 4 случая.

 

5. с² = С 6. с² = - С 7. c² = C 8. c² = -C

b² = - B b² = B b² = - B b² = B

 = - N  = N  = - N  = N

 

*******

 

Итак, рассмотрим случай 5.

 

Случай 5.

 

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения

 

 (11)

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):

 

 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.

 

Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

 (32) => b  (32), (24)

 (31) => с = (31),  (29´) ,

 

где  взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

 

 (31´),  (29),

 (32´),  (24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения

   (11).

 

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):

 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´),

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

 (31) => с = (31),  (29´´´) ,

 (32´) => b  (32´´),  (24´),

 

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 8

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

 

 (31´),  (29´´),

,  (24), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

 

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

 

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):

1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)

 

3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33).

 

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

 

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

 

Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с² и b² в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

 

********

 

Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и bне являются целыми числами , либо c и b – четные числа , чего не должно быть.

 

********

 

Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .

*******

 

Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения  (где , q=2 q ) - показатели четные при  ≠ 0 и q  ≠ 0 - натуральных, в уравнении  целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:

 | | > 2, | | > 2, | c | > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,

т.е. в уравнении a²+ b⁴ = c⁴ b  и c  => в уравнении (1) при  - четном числе b  и c ,

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

********

Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.

 

*******

 

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) , где ≥2 - четноене имеет решений в попарно простых целых числах a, b, иc таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.