Утверждение 2» нами полностью доказано.
******* Примечание
1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2 m при m >2 – натуральном. 2. Если уравнение al + b 4 = c 4 , где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a , b , и c , то и уравнение a 4 + b 4 = c 4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
Вывод :Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.
3. Результат доказательства, а именно четность чисел a , b , c в уравнении al + b 4 = c 4 ( ≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a 4 + b 4 = c 4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось. На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана. ******** Утверждение 3 Часть 1 Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2 m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Часть 2 Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1 . ********* Часть первая (Утверждения 3) Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2 m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Доказательство
Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2». Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a. Из уравнения (1) следует:
=> (2).
Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c 2 + b 2 = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.
****** Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35). Представим нечетные числа b и c в виде: b = 2 n 1 + 1; c = 2 n 2 + 1, где n 1 и n 2- произвольные целые числа. Тогда
b 2 + c 2 = (2 n 1 + 1)2 + (2 n 2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать *******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):
= , где c 2 + b 2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е. (5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b 2 и c 2:
=> =>
Откуда β = b 2 + 2 l -2 k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ≥ 3 – нечетное натуральное число. Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем: (9) - нечетное число. 2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число. Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
******* Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
, т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном; (13) - нечетное число при - нечетном; (14) - нечетное число при - нечетном; (15) - четное число. Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r =0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r =0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е. = С = В = N = К ,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1. Условие1 (начало). с2 = С b 2 = B = N
Случай «+».
(12+) - нечетное число при - нечетном; (13+) - нечетное число при - нечетном; (14+) - нечетное число при - нечетном; (15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. Однако не все так просто. Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа . Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => ( ) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном. Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******* Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число. ********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы». Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3. ********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b 2 могут меняться своими выражениями ( C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки. Условие 2 (начало) .
с2 = В b 2 = С = N
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c 2 =± В (13´±) b2 =±С (14±) =± N (15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), ! Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном. Однако, если - четное, то (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******** Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.
******** Уравнение (11) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями ( N и К)).
Условие 3 . с2 = С b 2 = B = К
«Похожие» случаи «+» и «-». (12±) c 2 = ± ( ) = ± С (13±) b2 = ± ( ) = ± В (14´±) = = ±К (15´±) = ± N.
Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) = ±N= ±( ) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть. Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. ******* В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть. Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******** Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах. *******
Вывод
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах. 2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана. *********
Часть вторая (Утверждения3) Возможны случаи: либо , либо . (Об «Исключении» из общего правила) Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»). Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1. Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки. Случай 1.
(12) (13′) (14) (15) , которые также являются решениями уравнения
(11) .
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=> .
Выразим из (17) и (16) :
=> => .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель . Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (4) c 2 + b 2 = 2 β, то => . Из (15) с учетом (20) выразим :
, т.е. . Т.о., , , т.е. ,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. . (Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.) Теперь, учитывая (23), получим значение для b 2 :
, т.к. из (20) получается (20′).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (207)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |