ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 7 страница
Часть 2 Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая (Утверждения 2) Уравнение ( - четное, q = 4 = 2 m , где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Доказательство
Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a. Из уравнения (1) следует: => (2). Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c 2 + b 2 = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b - нечетных. *********
Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается. Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2 n 1 + 1; c = 2 n 2 + 1,
где n 1 и n 2- произвольные целые числа. Тогда
b 2 + c 2 = (2 n 1 + 1)2 + (2 n 2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать. *******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):
= , где c 2 + b 2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е. (5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число , т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k – четное число при ). Из соотношений (4) и (5) определяем b 2 и c 2: => =>
Откуда β = b 2 + 2 l -2 k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном.
********* Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число. 2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число. Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
******* Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим: ,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном; (13) - нечетное число при - нечетном; (14) - нечетное число при - нечетном; (15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r =0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r =0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). . *******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е. = С = В = N = К, и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1. ******** Условие1 (начало) с2 = С b 2 = B = N
Случай «+». (12+) - нечетное число при - нечетном; (13+) - нечетное число при - нечетном; (14+) - нечетное число при - нечетном; (15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. Однако не все так просто. Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа . Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
т.е. => ( ) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном. Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******** Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число. ********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы». Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b 2 могут меняться своими выражениями ( C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В b 2 = С = N
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c 2 =± В (13´±) b2 =±С (14±) =±N (15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), ! Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном. Однако, если - четное, то (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******* Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
******* Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2. ******** Уравнение (11 ) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями ( N и К)). Условие 3 . с2 = С b 2 = B = К
« Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c 2 = ± ( ) = ± С (13±) b2 = ± ( ) = ± В (14´±) = = ±К (15´±) = ± N Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) = ±N= ±( ) только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть. Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******* В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть. Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
******** Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах. ******* Вывод
1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах. 2. 1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана. *********
Часть вторая (Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ. Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»). Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1. Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12) (13′) (14) (15) ,
которые также являются решениями уравнения (11) .
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=> .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (217)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |