Взаимно простые целые нечетные числа.

*********

Случай 8

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

 

 (31´),  (29´´),

,  (24),

 

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:

 

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

**********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

 

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

********

 

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

 

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

 

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

 

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

 

*********

 

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

 

либо , либо , либо c и bне являются целыми числами , либо c и b – четные числа , чего не должно быть.

 

********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.

 

*******

Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.

 

В результате исследования уравнения (1), мы имеем:

 

Вывод:

1. Уравнение (1)  (  ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2 ^m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Возможны случаи : либо , либо .

Утверждение 3» нами полностью доказано.

 

*******

Примечание

 

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение a^l + b ⁴ = c ⁴ при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 ^m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 ^m , где m > 2 – натуральном.

**********

 

На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».

ОБЩИЙ ВЫВОД

1. Уравнение  ( ,  - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и может быть либо , либо .

 

Таким образом, «Общее утверждение» доказано.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.

 

 

Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты!

 

Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике:

1. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.

2. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.

3. Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения  в целых числах при - натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р₁+ р₂ = р₃, где произведение р₁ р₂ р₃ = R ³, R – рациональное число (или рациональная функция), р₁, р₂ и р₃ могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы

р₁+р₂+р₃ =р₄

р₁ р₂ р₃ р₄ =  ,

где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р₁, р₂ , р₃ и р₄ могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan @ mail . ru

 

Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

 м/р-н Геолог, д.18, кв.11

 тел.: 8 (38 254) 5 79 59.