Среднее квадратическое отклонение случайного процесса

Средним квадратическим отклонением (с. к. о.) a_x ( t ) случайного процесса Х( t ) называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии D_x ( t ):

(формула 1.23)

размерность функции равна размерности  случайного процесса Х( t ).

Введенные нами характеристики случайного процесса X ( t ):

1. математическое ожидание случайного процесса m_x ( t )

2.  дисперсия случайного процесса D_x ( t )

3. Среднеквадратическое отклонение )

являются весьма важными, но отнюдь не исчерпывающими, так как определяются только одномерным законом рас­пределенияслучайного процесса.

Поясним сказанное на примере. Так, например,  у случайного процесса X₁ ( t )  и  X ₂ ( t ), представленных  на рисунке 1.1.8 примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии

Рисунок 1.1.8

Од­нако внутренняя структура этих процессов резко раз­лична. Случайный процесс X₁ ( t ) имеет плавно ме­няющиеся реализации, тогда как случайный процесс X₂(t) имеет резко выраженную колебательную структуру. Для процесса X₁ ( t ) характерна большая предсказуемость реализаций: если реализация процесса X₁ ( t ) была в какой-то момент времени t больше его математического ожидания m_{x 1} ( t ), то с боль­шой вероятностью можно ожидать, что и ее продол­жение будет лежать выше кривой m_{x i} ( t ). Другими словами, для случайного процесса X₁ ( t ) характерна сильная вероят­ностная зависимость между двумя его сечениями X₁ ( t ) и X₁ ( t ') .

Однако как видно из приведенного выше рисунка, это утверждение не справедливо для случайного процесса X₂(t), который характеризуется неправильными, беспорядоч­ными колебаниями. Между его сечениями X₂(t)  и X₂(t') практически нет вероятностной зависимости при достаточном удалении сечений (эта вероятностная зависимость быстро уменьшается по мере увеличения разности (t- t ').

Известно, что степень линейной зависимости (свя­зи) между двумя случайными величинами X и Y определяется их ковариацией:

(формула 1.2 4 )

Аналогичная характеристика вводится и для случайного процесса. Рассмотрим две случайные величины - два сечения случайного процесса для мо­ментов времени t и t ': X (t) и X (t'). Для этих двух случайных величин можно найти ковариацию- обозначим еекак

K_x(t, t')):

(формула 1.25)

Функция, отраженная в формуле (1.25) называется корреляционной функ­цией случайного процесса X (t).

Определение (1.15)

Корреляционная функ­ция случайного процесса X (t).

Корреляционной функцией случайного процесса X (t)называется не­случайная функция K_x ( t , t ') двух аргументов t и t ', которая при каждой паре значений аргументов t и t ' равна ковариации соответствующих сечений случай­ного процесса: X ( t ) и X ( t ').

Рассмотрим основные свойства корреляционной функции K_x(t,t') случайного процесса X (t).

1. При равенстве аргументов (t= t') к. ф. равна дисперсии с. п.

 X (t). Действительно

Рисунок 1.1.9

(формула 1.26)

2. Корреляционная функция K_x ( t , t ') симметрична относительно своих аргу­ментов. Данное свойство корреляционной функции непосредственно происходит из определения 1.15.

(формула 1.27)

3. Корреляционная функция K_x ( t , t ') явля­ется положительно определенной.

(формула 1.28)

где а( t )-произвольная функция аргумента t ,

 В-произвольное подмножество множества Т, на котором  определен случайный процесс X( t ).

Определение (1.16)