Эта функция зависит от двух аргументов:

1. во-первых, от значения t , для которого берется сечение;

2. во-вто­рых, от значения х, меньше которого должна быть случайной величины X ( t )

(рисунок 1.1.4).

Функция (1.4) называется одномерным законом распределения случайного процесса X ( t )

Данная функция характеризует только свойства од­ного отдельно взятого сечения случайного процесса  X ( t ), но не дает понятия о совместном рас­пределении двух (или бо­лее) сечений случайного процесса.

Очевидно, одномерный закон распределения (1.4) не может служить полной, исчерпывающей характеристикой случайного процессаX ( t ). Очевидно также, что более полной, но все еще не исчерпывающей характеристикой будет двумерный закон распределения, пред­ставленный совместной функцией распределения двух сечений случайного процесса, взятых соответственно для моментов  t ₁ и t ₂

(формула 1.5)

Это функция уже не двух, а четырех аргументов: двух моментов времени, для которых берутся сечения, и двух значений  x ₁ и x ₂

Однако и двумерный закон распределения (формула 1.5) еще не является исчерпы­вающей характеристикой случайного процесса Х(t) еще более полной характеристикой будет трехмерный закон

(формула 1.6)

Очевидно, теоретически можно неограниченно уве­личивать число сечений и получать при этом все более полную характеристику случайного процесса. Однако оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно; к тому же объем экспериментального материала, необходимого для их получения, с увеличением числа сечений растет чрез­вычайно быстро. Поэтому на практике более чем дву­мерные законы распределения применяются крайне редко. В инженерных приложениях обычно ограничи­ваются одномерным, иногда — двумерным законом распределения с. п. Нередко этого оказывается и до­статочно.

Рисунок 1.1.5

Для решения практических инженерных задач при исследова­нии случайных процессов пользуются его основными характеристиками, опи­сывающими с. п. не полностью, а частично. Основные характеристики будут представлены функциями аргумента t , от которого зависит случайный процесс X ( t ).

Первой и важнейшей характеристикой X ( t ) является его математическое ожидание, т. е. «средняя» функция, вокруг которой происходит разброс реали­заций с. п.

Рисунок 1.1.6

Необходимо заметить, что эта функция, характеризующая «среднее» значение случайного процесса, является сама уже не­случайной. Обозначим ее m_x ( t ). Обозначим ее m_x ( t ).

Определение (1.9)

  Математиче­ское ожидание случайного процесса Х( t )

Математиче­ским ожиданием случайного процесса Х( t ) называется неслучайная функция m_x ( t ), которая при любом зна­чении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса

(формула 1.7)

Зная одномерный закон распределения с. п. X ( t ),всегда можно найти m_x ( t ) для любого сечения и уста­новить его зависимость от t.

 Известно, если с. в. X дискретна ее математическое ожидание находится как сумма произведений ее воз­можных значений на их вероятности:

(формула 1.8)

если она непрерывна и имеет плотность f ( x )- м.о. вычисляется как интеграл:

(формула 1.9)

Математическое ожидание смешанной с. в. X нахо­дится как сумма произведений значений с. в., обла­дающих отличными от нуля вероятностями, на эти вероятности плюс интеграл, распространенный на участки непрерывности функции распределения F ( x ). Совершенно аналогично, зафиксировав t и пере­ходя от случайного процесса к случайной величине (его сечению), можно вычислить м.о. этого процесса.

Например, если сечение с. п. Х( t ) при данном tпредставляет собой дискретную с. в. с рядом распре­деления:

то его м.о. может быть вычислено по формуле

(формула 1.10)

Здесь х_1, x _2, x_i первое, вто­рое    i-e, значения, которые может принимать случайная величина X ( t ) сечение с. п. при данном t;

p ₁ ( t ), p ₂ ( t ), p_i ( t ) соответствующие ве­роятности

p ₁ ( t )= Р { X ( t )= x ₁ ( t )}…. p_i ( t )= Р { X ( t )= x_i ( t )}

Очень часто встречается случай, когда значения с. в. Х( t ) не зависят от t, а зависят от t только их вероятности; в этом случае ряд распределения имеет вид

Если сечение с. п. X ( t ) при данном t представляет собой непрерывную с. в. с плотностью f ( t , х), его м.о. может быть вычислено по формуле:

(формула 1.11)

Для случая смешанной случайной величины X ( t )м.о., как обычно, вычисляется как сумма плюс ин­теграл.

Размерность функции m_x(t) равна размер­ности с. п. X ( t ). На практике чаще всего математиче­ское ожидание m_x ( t ) с. п. вычисляется не по его одномерному закону распределения, а заменяется при­ближенной оценкой, которую можно найти по опытным данным.

 Введем понятие центрированного случайного про­цесса; оно аналогично понятию центрированной с. в.

Определение (1.10)