Нормированная корреляционная функция

Нормированной корреляционной функцией (и. к. ф.) r_x ( t , t ') случайного процесса X ( t ) называется функ­ция, полученная делением корреляционной функции K_x ( t , t ') на произведение с. к. о.

α _x (t), α _x ( t' )

(формула 1.29)

Свойства нормированной корреляционной функции r_x ( t , t ') вытекают из ее определения.

1. При равенстве аргументов ( t = t ') н. к. ф. равна единице.

(формула 1.30)

2. Нормированная корреляционная функция r_x ( t , t ') симметрична относительно своих аргументов:

(формула 1.31)

3. Нормированная корреляционная функция по модулю не превосходит единицу:

(формула 1.31)

4. Нормированная корреляционная функция явля­ется положительно определенной.

(формула 1.32)

Чтобы найти к. ф. K_x ( t , t ') с. п. X ( t ) и его н. к. ф. r_x(t,t'), недостаточно знать одномерный закон рас­пределения с. п. X(t.)  В общем случае требуется зна­ние его двумерного закона распределения для двух сечений Х( t ), X ( t '). Если этот закон распределения известен, можно для любой пары значений

t , t ' найти корреляционный момент

(формула 1.33)

Или выражая его через смешанный первый начальный момент:

(формула 1.3 4 )

Например, если известна совместная плотность распределения двух сечений с. п. X ( t ) :   f ( t , t ', x , x '), то формулы (1.33) и (1.34) примут  cледующий вид:

(формула 1.3 5 )

(формула 1.36)

Используя формулы (1.33)-(1.36) можно находить характери­стики элементарных случайных функций.

До сих пор мы рассматривали только характеристики одного (скалярного) случайного процесса. X ( t ). Рассмотрим теперь векторный случайный процесс, у которого имеется k составляющих:

(формула 1.37)

Пусть случайный  процесс Х( t ) имеет характеристики m_i ( t ) и K_i ( t t'), где

i =1,2,3,… k. Эти характеристики в ка­кой-то степени описывают поведение только отдель­ного случайного процесса  X_i ( t ) (i = 1,2, ...k) и не определяют «взаимных характеристик», зависимости между составляющими векторного случайного процесса Х⁻( t ). В качестве такой характеристики рассматривается взаимная корреля­ционная функция R_ij ( t t') двух случайных (скаляр­ных) процессов: X_i (t) и X _j (t')

(формула 1.3 8 )

Определение (1.17)

Взаимной корреляционной функции

Взаимной корреляционной функцией R_ij ( t t') двух случайных процессов X_i ( t ) и X_j ( t ') называется неслучайная функция двух аргументов t и t ', которая при каждой паре значений t иt ', равна ковариации двух сечений случайных про­цессов X_i ( t ) и X_j ( t '). Эти сечения на рисунке. 1.1.9 изображены условно точкой (1) и точкой (2).

Рисунок 1.1.9

Из данного определения сле­дуют свойства вза­имной корреляционной функции (в. к. ф.):

1. Взаимная корреляционная функция R_ij ( t t') в общем случае неравна  в. к. ф. R_ji (t' t ) так как ковариация между сечениями X_i ( t ) и X_j ( t') (точки (1) и (2) на рисунке 1.1.9) в общем случае не равна ковариации между сечениями X_i ( t ') и X_j (t) (точки (4) и  (3) на рисунке 1.1.9):

(формула 1.39)