Определение (1.2) Реализации Случайного Процесса

Случайный процесс: определение и свойства

Теорией случайных процессов называется матема­тическая наука, изучающая закономерности случай­ных явлений в динамике их развития.

Теория случайных процессов (в другой терминоло­гии — теория случайных функций) представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, осо­бенно бурно развивающийся в последние десятилетия в связи с все расширяющимся кругом его практиче­ских приложений.

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта не­определенность (непредсказуемость) вызвана влия­нием случайных факторов, воздействующих на ход процесса.

Случайный процесс, протекающий в любой физи­ческой системе, представляет собой случайные переходы данной системы из состояния в состояние. Со­стояние системы может быть охарактеризовано с по­мощью каких-то численных переменных; в простейшем случае — одной, а в более сложных — не­скольких.­

Теория случайных процессов имеет широкое поле инженерных приложений. По мере углубления и уточ­нения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего. Соответ­ственно все большее значение приобретает теория случайных процессов.

Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины (с. в). Под случайной величиной пони­мается величина, которая в результате опыта со слу­чайным исходом принимает то или иное значение.

Определение (1.1) Случайного Процесса.

Случайным процессом X ( t ) называется процесс, зна­чение которого при любом фиксированном t = t_o яв­ляется случайной величиной X ( to )

Случайная величина X ( t 0), в которую обращается с. п. при t = t ₀ , называется сечением случайного про­цесса, соответствующим данному значению аргу­мента t .

Случайный Процесс можно зависать в виде функции двух аргументов времени t и элементар­ного события

( формула 1.1)

Где -элементарное событие

-пространство элементарных событий

  -область (множество) значений аргумента t функции X ( t )

-множество возможных значений случайного процесса X ( t ).

Определение (1.2) Реализации Случайного Процесса

Реализацией случайного процесса X ( t ) называется неслучайная функция x ( t ), в кото­рую превращается случайный процесс X ( t ) в резуль­тате опыта, другими словами, конкретный вид, принятый с. п. X ( t ), который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до Т.

Пользуясь формулой (1.1.1), можно записать реа­лизацию как функцию от аргумента t, изменяюще­гося в пределах множества Т, при фиксированном элементарном событии

(формула 1.2)

Если произведен не один опыт, а несколько, в ре­зультате каждого из которых наблюдается какая -то реализация случайного процесса, то таким образом получим несколько различных реализаций случайного процесса Х₁(Т), X₂(T), X_i(T) или семейство реализаций случайного процесса.

Рисунок 1.1.2.

Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить характеристики позволяющие получить качественное описание случайного процесса.

Известно, что с. п. X ( t ) представляет собой функцию, которая при любом t является случайной величиной (сечением случайного процесса). Понятие случайного процесса является обобщением понятия случайной величины на случай, когда условия опыта не постоянны, а меняются (в частности, время t «те­чет»). Случайная величина X соответствует случай­ному явлению как бы «в статике» (в неизменных условиях опыта), а случайный процесс Х( t )—«в ди­намике» (в изменяющихся условиях опыта). Каждое сечение с. п. X (t) при заданном t есть с. в., а совокуп­ность всех сечений при всевозможных t и есть с. п. X(f). Значит, случайный процесс представляет собой не что иное, как систему случайных величин — всех сечений этого процесса.

Сколько же существует сечений? В общем слу­чае— бесконечное (несчетное) множество. Рассматривать в совокупности такую систему с. в. На практике не представляется  возможным. Известно, что любую функцию f(t) аргумента t можно приближенно представить последовательностью ее значений в точках t ₁ , t ₂ , t ₃ , t_k.

Чем больше количество точек k t1, t2,t3, tk, тем точнее будет замена функции f(t) последовательностью значений f(t1), f(t2), f(t3), f(tk). Аналогично будет обстоять дело и со случайным процессом. Его можно приближенно заменить совокупностью (системой) случайных величин Х(t1), Х(t2), Х(t3), Х(tk), то есть его сечений в точках t ₁ , t ₂ , t ₃ , t_k

Рисунок 1.1.3.

Чем больше сечений будет рассматриваться, тем более подробное представление о случайном процессе мы получим. В пределе число сечений (число случайных величин в системе, или число составляющих случайного вектора) должно быть бесконечным. Изучение систем бесконечного (несчетного) числа случайных величин - задача непомерной трудности; на практике всегда приходится ее упрощать, заменяя более доступной. Нужно стараться при изучении интересующих нас свойств  случайного процесса обойтись как можно меньшим числом сечений.