Центрированного случайного процесса

Центрированным случайным процессом X⁰ ( t ) на­зывается процесс, который получится, если из с. п. X (t) вычесть его м. о.

(формула 1.12)

Из определения математического ожидания случайного процесса следует, что математическое ожидание центрированного случайного процесса X⁰ ( t ) тождественно равно нулю, т. е.

(формула 1.13)

Реализации х _i ( t ) центрированного с. п. X⁰ ( t )представ­ляют собой отклонения с. п. X ( t ) от его математиче­ского ожидания; эти отклонения имеют как положи­тельные, так и отрицательные значения, а в среднем равны нулю.

Рисунок 1.1.7

Кроме м. о. в теории случайных процессов рас­сматриваются и другие их характеристики, аналогич­ные числовым характеристикам с. в. (с той разницей, что они будут уже не числами, а функциями): началь­ные и центральные моменты.

Определение (1.11)

Начальный момент случайного процесса X(t)

Начальным моментом k -го порядка случайного процесса X ( t ) называется м. о. k -ой степени соответ­ствующего сечения с. п.:

(формула 1.14)

Определение (1.12)

Центральный момент случайного процесса X(t)

Центральным моментом k -гопорядканазывается м. о. k -й сте­пени центрированного с. п.:

(формула 1.15)

Из начальных моментов, кроме математического ожидания (первого начального момента) чаще всего применяется второй начальный момент  M {( X ( t ))²} из центральных — второй центральный момент, иначе -дисперсияслучайного процесса, которая при каждом t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса:

(формула 1.1 6 )

Известно что, дисперсия случайной  величины и ее второй начальный момент связаны следующим отношением:

D ( X )= M { X ² }- m ² _x

(формула 1.17)

т. е. дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания. Совершенно та­кое же соотношение связывает дисперсию с. п. с его вторым начальным моментом:

(формула 1.18)

Следовательно, по аналогии со случайной величиной:

Определение (1.13)

Дисперсии случайного процесса X ( t )

 Дисперсией случайного процесса X ( t ) называется не­случайная функция D_x ( t ), которая при любом значе­нии аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса Х( t )

Зная одномерный закон распределения любого сечения случайного процесса X(t), можно по известным правилам найти дисперсию D_x ( t ) случайного процесса X(t).

Если сечение X ( t ) представляет собой дискретную случайную величину с рядом распределения

 то дисперсия с. п. находится по формуле

(формула 1.19)

Где:

 i - номер возможного значения случайной величины X ( t ) при дан­ном t,

p_i -вероятность этого значения. 

 При записи че­рез второй начальный момент получаем что,

(формула 1.20)

Если сечение X ( t ) представляет собой непрерыв­ную случайную величину с плотностью f ( t , x ), то дисперсия случайного процесса может быть вычислена по формуле:

(формула 1.21)

или же через второй начальный момент:

(формула 1.22)

Таким образом, как математическое ожидание m_x ( t ) , так и дисперсия D_x ( t ) случайного процесса Х( t ) определяются его одномерным законом распреде­ления.

Если математическое ожидание m_x ( t ) случайного процесса Х( t ) представляет собой не­которую неслучайную «среднюю функцию», около которой варьируются реализации случайного процесса, то дисперсия случайного процессаD_x ( t ) представляет собой неслучай­ную неотрицательную функцию, характеризующую степень разброса реализаций случайного процесса X ( t ) около его математического ожидания   m_x ( t )то  есть степень разброса реализаций центриро­ванного случайного процесса X⁰ ( t ).

Определение (1.14)