Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

 

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k.

 

Каждая точка движется по окружности радиуса r_k

с касательным ускорением

 

нормальным ускорением

 

где ε — угловое ускорение.

 

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

— касательную  

 

— нормальную

 

 

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна

 

нулю:

 

 

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции                        равны нулю, т. к. силы пересекают ось z .

 

Силы, направленные по касательной к окружности, равны

 

 

где ε— общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

 

 

Величина

 

называется моментом инерции тела относительно оси вращения и обозначается J_z

 

 

 

В результате получим выражение основного уравнения динамики вращающего тела:

 

 

 

где M_z — сумма моментов внешних сил относительно оси;

ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе кг∙м².

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

а) Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

 

                                                           

 

б) Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

 

                                                          

 

в) Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

 

Рис. 17.5

                                                  

 

 

                                                       

 

 

 

г) Момент инерции шара:

 

 

 

 

 

 

                                                 

 

 

Практические занятия по разделу «Теоретическая ме­ханика»

Практическое занятие 1. (2 часа) Плоская система сходящихся сил

Практическое занятие 2. (2 часа) Плоская система произвольно располо­женных сил

Практическое занятие 3. (2 часа) Центр тяжести

Практическое занятие 4. (2 часа) Кинематика точки. Простейшие дви­жения твердого тела Практическое занятие 5. (2 часа) Работа и мощность. Общие теоремы динамики

Зачет по практическим занятиям (2 часа)

 

( см. Папку «Практические занятия по разделу «Теоретическая механика») 

 

Раздел 2. Сопротивление материалов

Занятие 18. (2 часа) Основные положения. Допущения, принятые при рас­четах

 

Основные требования к деталям и конструкциям и виды расчетов в сопротивлении материалов