Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Основные правила построения эпюр

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и Мх по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

 

 

Решение

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем внутренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка записываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

· поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу.

· изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох

· принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 24.5):

 

Рис.24.5.

 

Составим уравнения равновесия.

1. Рассмотрим участок 1 (рис. 24.6.а).

рис. 24.6.а

 

 

Сила Q₁ — отрицательна.

Сила Q на участке 1 постоянна.

 

M_x — отрицательный.

 

Изгибающий момент меняется по линейному закону, график — прямая линия.

 

1. Рассмотрим участок 2 (рис. 24.6.б).

Рис. 24.6.б

 

1. Рассмотрим участок 3 (рис. 24.6.в).

Рис. 24.6.в

 

 

Обращаем внимание, что для точки В получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3 — правее точки В.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внешний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется

В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов появится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не отражается на эпюре поперечных сил.

График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

 

1. Построение эпюр.

Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

 

Правила построения эпюр (рис. 24.4. и 24.7.):

 

Рис.24.7.

 

1. Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

2. В частном случае, когда поперечная сила на участке равна нулю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график — прямая линия, параллельная продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).

3. В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов — излом.

4. В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре Ми возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.

5. В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке.

6. На свободном конце балки или шарнирно опертом конце момент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

 

Пример 2.

На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 24.7.). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению

 

Решение

1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка:

 

Реакции определены верно.

 

2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечным сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим моментом и правила построения эпюр.

Участок 1 (от точки А до точки С).

В точке А приложена реакция R_A, направленная вниз. Поперечная сила на участке постоянна:

 

Момент в точке А равен нулю.

 

Точка С (слева). Приложена внешняя сила F₁= 35 кН, направленная вверх, — здесь возникнет скачок вверх на величину 35 кН.

Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зависимости

Участок 2 (от точки С справа до точки B).

Поперечная сила в точке С (справа) равна

 

В точке С приложена внешняя пара сил с моментом 80кН-м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента:

Поперечная сила на втором участке постоянна:

 

Момент в точке B определяется по зависимости

Справа и слева от точки в момент имеет одинаковые значения.

 

Участок 3 (от точки B(справа) до точки D).

В точке в приложена внешняя сила R_B. Здесь появляется скачок на величину 71 кН,

 

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке D равен нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил: M_D = 0.

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры

(эпюры под схемой вала, рис. 24.7.).