Основные силы, учитываемые в рамках решения задач классической механики (краткий обзор изученного в школе материала)

Поскольку вблизи поверхности Земли в случае отсутствия взаимодействий тел с другими объектами все тела движутся с одинаковым ускорением g (2.15). В соответствии со вторым законом Ньютона (4.2) это означает, что в указанных условиях тела испытывают действие силы тяжести, величина которой пропорциональна их массам:

                                                                                            (4.14)

Силы тяжести обусловлены гравитационными взаимодействиями. Вблизи поверхности Земли (и других планет) тела могут находиться в покое лишь в случае их взаимодействий с другими телами, приводящих к появлению дополнительных сил, компенсирующих действие силы тяжести. Как правило, ими являются силы реакции опоры или натяжения подвеса, имеющие электрическое происхождение. При действии указанных сил на  рассматриваемое тело со стороны других тел в соответствии с третьим законом Ньютона возникают противоположные силы действия со стороны рассматриваемого тела, называемые весом тела.

Определение 4.4 Весом тела называется действующая со стороны тела сила (или совокупность сил) давления на опору или растяжения подвеса.

В простейшем случае вес тела оказывается равным mg. Исключения возникают в случае действия дополнительных сил, которые оказывается неудобно отнести к силам реакции опоры или растяжений нити (силы Архимеда, обусловленные внешними электромагнитными полями силы и т.д.). Кроме того, вес тела может существенно изменяться в случаях ускоренно движущихся опор или подвесов. Иногда бывает удобно «исключить из рассмотрения» эти дополнительные силы, «спрятав» их в ускорение свободного падения, введя его эффективное значение. При таком подходе, например, сила тяжести на Земле окажется зависящей от географической широты.

 

Пример 4.3. Влияние вращения Земли на вес тела Какой длительности должны быть сутки на Земле для того, чтобы вес тел на экваторе был в 2 раза меньшим, чем на полюсе?Считать, что Земля является идеальным шаром и сила гравитационного притяжения тел к планете одинакова в любых точках ее поверхности.

Решение. Находящееся на поверхности Земли на экваторе тело движется по круговой траектории радиусом R = 6 400 км, совершая полный оборот за T = 24 ч. В рассматриваемой ситуации (рис. 4.3) классическое уравнение движения (4.10) имеет вид:

                                                                                  (4.15)

Его проектирование на горизонтальную ось с учетом выражения (3.24) для центростремительного ускорения тела, равномерно вращающегося по окружности, имеет вид:

 

Численно равный силе реакции опоры вес тела на экваторе оказывается меньшим, чем на полюсе (N₁ = 2N₂), где радиус круговой траектории тела R=0, из чего следует:

 

Рис. 4.3. Иллюстрации к примерам 4.3 и 4.4, иллюстрирующим
основные причины отклонения веса тела от mg

 

    Другой причиной отклонения величины веса тела от mg является влияние атмосферы, приводящее к появлению архимедовой силы.

Физический закон 4.5. Закон Архимеда Опыт показывает, что тело, помещенное в неподвижную жидкость или газ, испытывает действие выталкивающей силы, величина которой равна весу вытесненной жидкости или газа:

                       (4.14)

    Появление выталкивающей силы обусловлено ударами по выталкиваемому телу молекул окружающего его вещества, совершающих хаотическое движение. Закон Архимеда можно обосновать, мысленно заместив погруженное в вещество тело объемом вытесненной им жидкости или газа, для которого в случае неподвижной среды действие силы тяжести полностью компенсируется силой Архимеда.

 

Пример 4.4. Вес тела в разгоняющемся автобусе Тело массой m , сделанное из однородного вещества плотностью ρ подвешено нитью к потолку автобуса, движущегося с горизонтальным ускорением a (рис.4.3). Чему равен вес тела, если плотность воздуха в автобусеравна ρ0?

Решение. Воздух в разгоняющемся автобусе не является неподвижным, из-за чего закон Архимеда (4.14) не применим для вычисления силы выталкивания, которая в данном случае не направлена вертикально вверх. Помимо уравнения, выражающего второй закон Ньютона для тела:

                                              (4.15)

может быть записано аналогичное соотношение для объема вытесненного воздуха, который бы занял место тела в случае удаления последнего:

 

                                           (4.16)

 

где m₀ – масса вытесненного воздуха, для удержания которого подвес не требуется. Вычитание равенств (4.15) и (4.16) позволяет исключить силу Архимеда и найти вес тела:

Проецирование полученного векторного равенства на координатные оси позволяет найти силу натяжения нити, численно равную весу тела:

Если плотность тела равна плотности среды, его вес оказывается нулевым. Влияние ускорения автобуса можно учесть, введя эффективное ускорение свободного падения
g_эфф=(g² +a² )^1/2 , после чего решать задачу так же, как это делалось бы в инерциальной системе отсчета.                                                                                                                            

Силы реакции опоры и натяжения нитей подвеса являются частным (предельным) случаем сил упругости, возникающих при деформациях тел, т.е. изменениях их линейных размеров. При малых относительных деформациях оказывается приближенно справедлив закон Гука:

 

Физический закон 4.6. Закон Гука Опыт показывает, что при малых деформациях упругого тела они пропорциональны приложенной силе:

                                  (4.17)

Коэффициент упругости k пропорционален площади поперечного сечения деформируемого тела и обратно пропорционален его длине.

 

Пример 4.5. Почти реальная пружина Прямой тонкий стержень закреплен на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью ω, и образует с ней угол α. По стержню может скользить без трения груз массой m , прикрепленный к стержню невесомой пружиной с исходной длиной l , жесткость которой равна k (рис.4.3). Какова деформация пружины, если неподвижен относительно стержня?

Решение. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения с учетом действия сил тяжести, упругости (F) и реакции опоры (N) имеет вид:

                                                          (4.18)

Проектирование (4.18) на выбранные координатные оси

                             (4.17)

и исключение из получившейся системы уравнений (4.17) силы реакции опоры позволяет получить искомое выражение для деформации пружины:

        (4.18)

Рис. 4.4. Иллюстрации к примерам 4.5 и 4.6,

       Полученный результат предсказывает существенно различные варианты поведения системы, реализующиеся при разных соотношениях между параметрами. При малых частотах вращения первая из входящих в (4.18) скобок отрицательна, что соответствует отрицательной деформации пружины, т.е ее сжатию. Начиная с некоторого значения, легко определяемого из (8.18), сжатие пружины сменяется ее растяжением. При увеличении частоты вращения до величины, соответствующей обращению в ноль второй скобки (и в случае превышения этого значения) равновесие шарика невозможно и он будет неограниченно удаляется от оси вращения, что в реальности соответствует разрыву пружины. Наконец, при особом сочетании параметров, обеспечивающем равенство нулю обоих скобок в выражении (4.18), возникает состояние безразличного равновесия.

 

Рассмотренная сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно (нормально) поверхности деформируемого тела (опоры). Однако, на практике в случае соприкосновения поверхностей двух твердых тел возникающая между ними сила имеет не только нормальную, но и тангенциальную составляющую. Последнюю традиционно называют силой сухого трения.

 

Физический закон 4.7. Сила сухого трения Опыт показывает, что при соприкосновении поверхностей твердых тел возникают силы, направленные вдоль линии соприкосновения поверхностей так, чтобы противодействовать их относительному смещению; величина описанных сил сухого трения не может превосходить произведения величины силы реакции опоры на «коэффициент сухого трения», зависящего от свойств поверхностей:

                                                      (4.19)

В зависимости от того, возникает или не проскальзывание между трущимися телами, иногда выделяют трение покоя и трение скольжения. Первому случаю соответствует неравенство в (4.19), второму – равенство. Популярная в быту утверждение о том, что силы трения всегда препятствуют движению не является верным: например, во время разгона автомобиля возникающая между ведущими колесами и полотном дороги сила сухого трения является причиной, заставляющей его двигаться.

 

Пример 4.6.  Явление заклинивания Тело массой m покоится на горизонтальной поверхности, коэффициент трения о которую равен μ. Тело пытаются сдвинуть с места, действуя ан него силой, направленной под углом α к горизонту. При какой минимальной величине силы начнется проскальзывание?

Решение. В рассматриваемой ситуации (рис. 4.4) сила сухого трения (F_μ) направлена в сторону, противоположную ожидаемому смещению тела под действием сдвигающей силы (F). В результате проектирования классического уравнения движения

на выбранные координатные оси возникает система уравнений:

,

позволяющая рассчитать силу реакции опоры и максимальную величину силы трения:

 

В предельном случае перед началом проскальзывания сила терния принимает максимально-возможное значение, откуда:

       При μ = ctgα минимальная сила, необходимая для смещения груза, становится бесконечно большой, что означает невозможность движения. При больших значениях коэффициента трения смещение груза тем более невозможно (подумайте, почему). Принято говорить, что в рассмотренной ситуации возникает заклинивание.

    Помимо сухого трения при движении тел в жидкостях или газах возникают силы вязкого трения, которые зависят от скорости движения тела относительно окружающей среды, свойств среды, размеров и формы тела. В случае покоящихся тел этот тип трения отсутствует. При движении сила всегда направлена против скорости тела. Функциональная зависимость величины вязкого трения от скорости зависит от характера обтекания тела жидкостью или газом и приближенно может быть записана в виде:

                                                  (4.20)

При ламинарном (безвихревом) течении сила оказывается пропорциональной скорости, т.е. ζ = 0. В случае перехода к турбулентным потокам, характеризующихся наличием вихрей, зависимость сопротивления от скорости становится более сильной (ζ → 1). Характер течения определяется величиной безразмерного параметра, называемого числом Рейнольдса, зависящего от скорости потока, плотности и вязкости среды и характерной длины элемента потока.  Коэффициент вязкого трения η зависит от многих параметров: вязкости среды, в которой движентся тела, площади его поперечного сечения, формы тела, мае риала его поверхности и степени ее гладкости.

 

Пример 4.7. Максимальная скорость горнолыжника Оценить установившуюся скорость горнолыжника массой m , едущего без поворотов вниз по склону, составляющему угол α с горизонтом, если коэффициент трения лыж о снег равен μ, а сила сопротивления воздуха движению описывается формулой (4.20).

Решение. Классическое уравнение движения лыжника имеет вид:

Рис. 4.5. Примерный вид зависимости силы вязкого трения от величины скорости тела относительно внешней среды и иллюстрация к расчету установившейся скорости спуска горнолыжника

 

Проектирование уравнения записанного в векторной форме движения на выбранные оси координат для случая v_x > 0 дает систему уравнений:

Справедливую в случае μ < tgα. При нарушении указанного условия горнолыжник либо не сдвинется с места, либо (в случае придания ему начальной скорости) будет двигаться замедляясь. По мере увеличения скорости возрастает сила вязкого трения, что приводит к уменьшению ускорения и асимптотическому выходу движения на равномерное движение с установившейся скоростью:

Как отмечалось, сила тяжести (4.14) имеет гравитационную природу. По сути она является суммой притяжений большого числа точечных масс, образующих гравитирующие тела. Закон гравитационного притяжения двух точечных (т.е. имеющих размеры, много меньшие расстояния между ними) масс m и M, удаленных друг от друга на расстояние r был сформулирован И. Ньютоном на основе имеющихся в то время астрономических данных по движению небесных тел и успешно применен им для построения классической небесной механики – стройной теории движений небесных тел, не утратившей своего практического значения до настоящего времени.

Физический закон 4.8. Закон всемирного тяготения Гравитационная сила взаимодействия между двумя точечными темами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

                                                  (4.21)

Можно показать, что сферически симметричные тела притягиваются по тому же закону, что и точечные, если понимать под r расстояние между их центрами.

 

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Однажды Лебедь, Рак и Щука решили сдвинуть с места воз массой M,покоившийся на очень скользкой горизонтальной поверхности. Все персонажи воздействовали на воз си силами, лежащими в одной плоскости. Лебедь тащил воз на север и вверх с силой FЛ, действующей под углом α к горизонтали. Щука – на север и вниз с силой FЩ , действующей под углом β к горизонтали. Рак был способен лишь к воздействию на воз в горизонтальном направлении. С какой силой рак должен тащить воз для того, чтобы реализовалась ситуации, описанная в известном произведении Крылова?

2. Взвешиваемая на пружинных весах змея с массой М, равномерно распределенной по длине длинной L равномерно встает на хвост, полностью поднимаясь вертикально за время Т. Чему равен вес змеи во время ее подъема?

3. Какова должна быть длительность суток на Земле для того, чтобы на ее экваторе наблюдалась невесомость?

4. Что больше весит: килограмм пуха или килограмм свинца? Взвешивание производится а) на Земле, б) на Луне.

5. Внутри железнодорожного вагона, движущегося со скоростью v, помещен привязанный к полу невесомой нитью наполненный гелием шарик, Нить составляет угол α с вертикалью. Чему равен радиус закругления железнодорожных путей, если они расположены строго горизонтально?

6. Не слишком опытный сноубордист, не умеющий ни тормозить, ни поворачивать, начинает спуск по равномерно наклоненному (угол наклона α) склону горы высотой H, после разгона на котором мягко переходит на горизонтальный участок, по которому катится по инерции. На какое расстояние от точки окончания склона отъедет сноубордист, если коэффициент трения борда о снег на склоне и на горизонтальном участке одинаков и равен μ?

7. Поворот шоссе радиусом R оформлен в виде трека с углом наклона дороги α в сторону поворота. С какой скоростью может автомобиль проходить поворот для того, чтобы не возникло проскальзывания? Коэффициент трения колес о дорогу равен µ.

8. Автомобиль с включенным мотором подъезжает с начальной скоростью v₀ к началу подъема шоссе, на котором полотно дороги составляет угол α с горизонталью. На какую максимальную высоту поднимется автомобиль, если коэффициент сухого трения колес о дорожное покрытие равен µ?

9. Очень Невоспитанный Мальчик решил освоить очень опасный аттракцион, иногда называемый Чертовым колесом. Он представляет собой достаточно скользкий диск (коэффициент трения μ), способный вращаться вокруг вертикальной оси. После того, как Очень Невоспитанный Мальчик устроился на расстоянии R от оси вращения, после чего диск начал раскручиваться с постоянным угловым ускорением β. Через какой интервал времени после начала движения аттракциона мальчик начнет проскальзывать?

10. Очень Невоспитанны Мальчик посадил ОченьХорошую Девочку в бочку радиусом R и раскрутил ее до такой угловой скорости ω, что девочку прижало к стенке бочки столь сильно, что после выпадения дна «аттракциона» она осталась неподвижной относительно его стенки. Мальчик начал равномерно замедлять вращение бочки так, что она остановилась, совершив N полных оборотов. Через какое время Т после начала торможения девочка начнет проскальзывать относительно стенки бочки?

Лекция 5

движение под действием сил, зависящих от
положения и скорости тела, в простейших случаях

Простые задачи классической механики – удобный повод познакомиться со стандартными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений и приобрести опыт анализа характерных типов движений под действием различных сил. В данной лекции будут рассмотрены основные методы решения уравнения движения в одномерном случае и простейшие движения в пространстве, легко сводимые к одномерным.