Движение тела в вязкой среде

В случае одномерного движения тел под действием сил, зависящих только от скорости, классическое уравнение движения допускает решение относительно скорости v(t) методом разделения переменных и сводится к вычислению одного интеграла и обращению получившегося после интегрирования алгебраического уравнения относительно неизвестной функции v(t):

                (5.2)

Строго говоря, к входящей в уравнение (5.2) массе тела должна добавляться присоединенная масса части окружающей среды, увлекаемой движущимся телом. На данном уровне изучения механики эти усложняющие уточнения рассматриваться не будут.

Пример 5.2. Движение тела под действием сил вязкого трения,  линейно зависящих от скорости Точечное тело с массой m влетает с начальной скоростью в вязкую среду, где сила трения зависит от скорости по линейному закону.

Решение. Анализ движения тела под действием линейной по скорости силы вязкого трения требует решения задачи:

                                                                                                              (5.3)

Использование метода (5.2) для конкретного уравнения движения (5.3) показывает, что в случае действия на тело одной лишь линейной силы вязкого трения скорость тела асимптотически стремиться к нулю по экспоненциальному закону:

                                                    (5.4)

Несмотря на то, что, строго говоря, торможение длится бесконечно долго,  перемещение тела и пройденный им до остановки путь оказываются конечными:

Для решения практически важной задачи падения в вязкой среде уравнение движения (5.3) необходимо добавить два постоянных слагаемых: силу тяжести и силу Архимеда. Их сумму удобно записать в виде одного слагаемого, введя эффективную массу m':

   (5.4)

Получившееся неоднородное (имеет не содержащие неизвестной функции слагаемые) линейное дифференциальное уравнение с помощью стандартной замены переменной

                                           (5.5)

cводится к однородному уравнению типа (5.3), метод решения которого уже рассмотрен.

Пример 5.2. Падение тел в вязкой среде Проанализировать движение покоившегося плотного тела в вязкой среде с линейной по скорости силой сопротивления при наличии силы тяжести.

Решение. Проектирование уравнения движения (5.4) на вертикальную ось, направленную вдоль вектора g, с учетом замены переменных (5.5) дает:

Задача (5.7) отличается от (5.3) лишь начальным условием

и решается аналогичным разобранному в Примере 5.1 способом (проделайте сами):

На начальном этапе падения движение тела близко к равноускоренному, однако ускорение оказывается меньшим, чем g из-за наличия силы Архимеда. По мере разгона постепенно возрастает роль силы вязкого трения, что приводит к постепенному переходу к равномерному движению.

Рис. 5.2. Падение тела в вязкой среде: действующие на тело силы и временные зависимости координаты и скорости для случаев свободного падения (индексы «g») и падения в жидкости (индексы «η»)

5.3. Одномерное движение под действием силы,
зависящей от координаты

При решении уравнения движения под действием сил, зависящих только от пространственного положения тела, естественным образом возникает закон сохранения механической энергии. Домножение на скорость уравнения одномерного движения частицы в поле таких сил

и учет известного из математики факта о том, что функции, имеющие равные производные, могут различаться не более, чем на константу (W) приводит к так называемому первому интегралу движения:

                                                               (5.6)

В физике соотношение (5.6) принято называть законом сохранения механической энергии. Постоянную W называют полной механической энергией точечного тела, половину произведения массы на квадрат скорости mv²/2 -  его кинетической энергией, а функцию U(x), производная от которой с точностью до знака совпадает с зависящей от координаты силой – потенциальной энергией. В дальнейшем полученный для одномерного движения закон (5.6) будет обобщен на общий случай движения в трехмерном пространстве.

Закон сохранения (5.6) дает связь между координатой и скоростью:

                                                         (5.7)

Разделение переменных в (5.7) и интегрирование результата по времени

                                  (5.8)

позволяет получить связь между временем и координатой. Решение уравнения (5.8) относительно координаты x по сути является решением основной задачи механики. Использование процедуры (5.6) –(5.8)для решения уравнения движения несколько трудоемко, но оказывается весьма полезным при решении сложных задач механики, некоторые из которых будут рассмотрены в последующих частях курса физики.