Использование законов сохранения импульса, момента импульса и механической энергии позволяет эффективно анализировать особенности движений в тех случаях, когда аналитический анализ движений на основе непосредственного интегрирования уравнения движения оказывается технически сложным. Эти законы сохранения будут выведены как теоремы, доказываемых исходя из классического уравнения движения, но могут быть обоснованы с использованием гораздо более общих соображений о глобальных симметриях пространства и времени. По этой причине законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии имеют гораздо более широкие границы применимости по сравнению с законами классической динамики Ньютона.
Закон сохранения импульса
Теорема 6.1. Закон сохранения импульса материальной точки
Если равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке равна нулю, импульс материальной точки не изменяется во времени:
(6.1)
Доказательство теоремы (6.1) непосредственно вытекает из импульсной формулировки второго закона Ньютона (4.9):
Закон сохранения импульса материальной точки так же может быть выведен из предположения об однородности пространства.
Закон сохранения момента импульса
В случае вращательного движения по окружности момент импульса материальной точки в определенном смысле может рассматриваться как аналог ее импульса припоступательном движении. Описанные в посвященном кинематике вращательного движения Разделе 3.4 аналогии между поступательным и вращательным движением распространяются и на случай динамики материальной точки.
Определение 6.1
Моментом импульса материальной точки называется векторное произведение ее радиус-вектора на вектор ее импульса (рис. 6.1):
(6.2)
Рис. 6.1. К определению момента импульса материальной точки и пример центральных сил, при движении под действием которых момент импульса сохраняется
В случае движения по окружности (и ином криволинейном движении, траектория которого на небольшом участке всегда может быть аппроксимирована окружностью) момент импульса материальной точки может быть выражен через ее угловую скорость:
(6.3)
Соотношение (6.3) может рассматриваться как аналог связи между импульсом материальной точки и ее скоростью при поступательном движении. При этом в качестве аналога массы выступает характеристика, называемая моментом инерции материальной точки.
Определение 6.2
Моментом инерции материальной точки называется произведение ее массы на квадрат радиуса кривизны ее траектории:
(6.4)
Аналогом силы (скорости изменения импульса) в случае движения по дуге окружности выступает физическая величина (псевдовектор), называемая моментом силы:
Определение 6.3Моментом силы называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения этой силы на вектор этой силы
(6.5)
Теорема 6.2. Скорость изменения момента импульса
Скорость изменения момента импульса материальной точки равна суммарному моменту действующих на нее сил:
(6.6)
Доказательство теоремы основано на правиле дифференцирования произведения двух функций (3.23), импульсной формулировке второго закона Ньютона (4.9) и определении момента силы (6.6):
(6.7)
Результат (6.7) в определенном смысле аналогичен импульсной формулировке второго закона Ньютона (4.9). Из него непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса:
Теорема 6.3. Закон сохранения момента импульса
Если суммарный момент всех сил, приложенных к материальной точке, равен нулю, момент импульса материальной точки не изменяется во времени:
(6.8)
Доказательство Теоремы 6.3 непосредственно следует из Теоремы 6.2. Закон сохранения момента импульса для материальной точки в конечном итоге непосредственно вытекает из импульсной формулировки второго закона Ньютона, но так же может быть выведен из предположения об изотропности пространства.
Определение 6.4Центральными называется силы, направленные по прямой, соединяющей точечные тела с выделенной точкой пространства (силовым центром) и зависящие только от расстояния от материальной точки до силового цента:
(6.9)
Центральные силы играют важнейшую роль в физике, поскольку по существу все фундаментальные взаимодействия между точечными телами приводят к возникновению именно таких сил.
Теорема 6.4. Движение в поле центральных сил
При движении точечного тела, испытывающего действие только центральных сил, его момент импульса сохраняется во времени.
Доказательство теоремы следует из определения центральной силы (6.9) и закона сохранения момента импульса материальной точки (6.8):
(6.10)
Пример 6.1. Второй закон Кеплера при движении в силовом поле кулоновских сил
Показать, что в случае пролета электрически заряженного точечного тела вблизи неподвижного точечного заряда скорость тела будет изменяться во времени так, что площади, заметаемые за равные промежутки времени его радиус-вектором, проведенным из точки нахождения неподвижного заряда, будут равны друг другу.
Решение. Между точечными электрическими зарядами действуют центральные кулоновские силы, спадающие по закону обратных квадратов и направленные по прямым, соединяющим эти заряды (рис. 6.2):
Эмпирически установленный Кеплером для сходного случая движения космических тел под действием гравитационных сил, так же являющихся центральными, закон сохранения секторной скорости возникает как следствие закона сохранения момента импульса:
Рис. 6.2. К выводу второго закона Кеплера для случая движения в поле центральных сил
Механическая работа
Для формулировки и обоснования закона сохранения механической энергии необходимо введение несколько абстрактных физических понятий - механической работы и мощности.
Определение 6.4Элементарной механической работой на малом участке криволинейной траекторииназывается скалярное произведение действующей на точечное тело суммарной силы, на перемещение:
(6.11)
Элементарный участок траектории должен выбираться столь малым, чтобы он мог считаться прямолинейным, а равнодействующая сила на нем – постоянной по величине и направлению (рис. 6.3.а):
Рис. 6.3. Определение работы и способы ее вычисления
для случаев постоянной и центральной силы
Определение 6.5Механической работой на криволинейном участке траектории 1-2 называется сумма элементарных работ на всех ее малых участках:
(6.12)
Сумма (6.12), вычисляемая по описанному в Определении 6.5 алгоритму, в математике называется определенным интегралом по криволинейной траектории. Из определений (6.11) и (6.12) непосредственно следуют основные свойства работы:
Теорема 6.5. Основные свойства работы
Работа равнодействующей силы равна сумме работ ее составляющих; полная работа на траектории равна сумме работ на ее участках:
Теорема 6.7. Формулы для работ простейших сил, рассматриваемых в элементарных курсах механики
· Работа силы реакции опоры N : AN = 0.
· Работа постоянной силы тяжести m g : Amg = mgΔH.
· Работа силы сухого трения Fμ при движении по плоской поверхности: Aμ = -μNS, где S –пройденный путь.
· Работа силы упругости Fk = - k Δr : Ak = -k (Δr22 – Δr12) /
Доказательство утверждений Теоремы 6.7 найдите самостоятельно после изучения Примеров 6.2 и 6.3.
Пример 6.2. Работа постоянной силы
Вычислить работу постоянной силы, направленной в заданном направлении, по перемещению точечного тела между двумя заданными точками пространства (например, работы силы тяжести вблизи поверхности Земли):
Решение:на каждом элементарном участке траектории перемезаемого тела (см. рис. 6.3.б) эдементарная работа оказывается равной произвежению величины (модуля) силы на изменение координаты, отсчитываемой вдоль оси, ориентировыанной в направлении действия силы. Суммирование элементарных работ на каждом из участков таректории в случае неизменной силы не представляет сложности и провидит к простому результату:
(6.16)
В частном случае С = mg из (6.16) следует известная формула для работы постоянной силы тяжести: A = mg(H2 – H1)=mgΔH .
В случаях, когда сила способствует движению тела ее работа оказывается положительной, препятствует – отрицательной (подумайте, почему).
Работа центральной силы вычисляется, исходя из определения:
(6.17)
и оказывается не зависящей от того, по какой траектории происходило перемещение между точками (1) и (2) (см. рис. 6.3.в). Полученный результат (6.17) позволяет легко рассчитать работу упругих сил:
(6.18)
и работу сил кулоновского поля (спадающих с расстоянием как 1/r2):
(6.19)
Важным для классической механики частным случаем сил кулоновского поля являются гравитационные силы, возникающие между массивными телами (4.21). Гравитационные силы (6.20) являются центральными. Их работа определяется лишь начальной и конечной точками, между которыми перемещается тело, и согласно (6.19), равна:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
2020-02-03
224
Обсуждений (0)
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14) 
. (6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)