Главная | О нас | Обратная связь Автоматизация Автостроение Антропология Археология Архитектура Астрономия Предпринимательство Биология Биотехнология Ботаника Бухгалтерский учет Генетика География Геология Государство Демография Деревообработка Журналистика и СМИ Зоология Изобретательство Иностранные языки Информатика Информационные системы Искусство История Кинематография Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Математический анализ Материаловедение Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика ОБЖ Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Разное Социология Спорт Статистика Строительство Теология Технологии Туризм Усадьба Физика Физиология Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электротехника Теорема  об изменении кинетической энергии 2020-02-03 366 Обсуждений (0) Теорема  об изменении кинетической энергии 0.00 из 5.00 0 оценок Скачать документ ⇐ Предыдущая6789101112131415 Определение 6.7 Кинетической энергией материальной точки называется половина произведения ее массы на квадрат скорости:                                            (6.21)
		Теорема 6.7. О скорости изменения кинетической энергии Скорость изменения кинетической энергии равна мощности всех сил, действующих на движущееся точечное тело:  .                       (6.22)

Доказательство использует определения кинетической энергии (6.22) и импульса, правило дифференцирования произведения двух функций (3.23) и импульсную формулировку второго закона Ньютона (4.9):

   (6.23)         

Теорема 6.8. Об изменении кинетической энергии Скорость изменения кинетической энергии равна работе всех сил, действующих на движущееся точечное тело: .                       (6.24)

Доказательство теоремы об изменении кинетической энергии непосредственно следует из предшествующей Теоремы 6.7, являющейся дифференциальным аналогом рассматриваемой. интегрирование (6.23) по времени приводит к сформулированному результату:

     (6.25)

Пример 6.3. Параметры орбиты спутника Спутник летает по эллиптической орбите вокруг очень компактного космического объекта массой М (рис. 6.4.а).. В точке максимального удаления, расположенной на расстоянии rmax от притягивающего центра спутник имеет скорость v. Каково минимальное расстояние между притягивающим центром и орбитой спутника и с какой скоростью спутник будет пролетать соответствующую точку?

Решение: при движении в центральном поле выполняется закон сохранения момента импульса (6.10), откуда:

                      (6.26)

Рис. 6.3. Примеры применения законов сохранения
к задачам небесной механики

Кроме того, из теоремы об изменении кинетической энергии (6.25) и выражения для работы гравитационных сил (6.21) следует:

                      (6.27)

Система двух уравнений (6.26) и (6.27) приводит к квадратному уравнению для искомой скорости V:

решение которого позволяет получить ответ на поставленные вопросы (проделайте самостоятельно оставшиеся выкладки и проанализируйте полученный результат).                     

7.5. Потенциальная и механические энергии,
закон сохранения энергии

Все силы природы могут быть разделены на два класса: силы, работа которых, вычисляемая по  (6.12) не зависит от формы траектории и силы, работа которых не обладает таким свойством. Такие  силы принято называть соответственно потенциальными (консервативными) и непотенциальными (неконсервативными).

Определение 6.8 Потенциальными (или консервативными) силами называются такие силы, работа которых при перемещении тела между двумя заданными точками не зависит от формы траектории                              (6.28)

В качестве примеров потенциальных сил можно привести силу тяжести, силу реакции опоры, силу упругости. Гравитационная сила, как и любая центральная является потенциальной.

Теоремы 6.9. Свойства потенциальных сил Работа потенциальной силы по любому замкнутому пути равна нулю; если работа какой-либо силы по произвольному замкнутому пути равна нулю, то эта сила потенциальна:  (6.29)

Доказательства прямой и обратной теоремы о работе потенциальных сил легко получаются из Теоремы 6.5 об основных общих свойствах работы и определения (6.8) потенциальной силы. Докажите теоремы самостоятельно.

Для  потенциальных сил (и только для них!) может быть введено понятие потенциальной энергии точечного тела:

Определение 6.9 Потенциальной энергией материальной точки называется работа потенциальных сил по перемещению тела из рассматриваемой токи пространства в точку, где потенциальная энергия принята равной нулю:                       (6.30)

Имеющийся в определении потенциальный энергии некоторый произвол, связанный с выбором точки c нулевой потенциальной энергией (R₀) не представляет опасности, поскольку во всех дальнейших уравнениях физики потенциальная энергия будет входить лишь в виде разности энергий между двумя точками. Эта разность оказывается независящей от выбора нулевой точки. Выбор точки R₀ определяется исключительно соображениями удобств решения задач. Эта точка не обязана совпадать с началом координат. Весьма часто в качестве R₀ выбирают бесконечно удаленную точку.

Определение 6.10 Полной механической энергией очечного тела в данной точке пространства называется сумма его кинетической и потенциальной энергии:                                                         (6.31)

Полная механическая энергия, как и потенциальная, определяется с точностью до константы, зависящей от выбора нулевой точки. Как правило, нулевая механическая энергия приписывается телу, покоящемуся на бесконечности, где взаимодействия с другими телам отсутствуют (неподвижному свободному телу). Такой выбор носит чисто рекомендательный характер.

 В важном для космической механики случае движения тела массы m со скоростью v вблизи гравитирующего центра массой М, с учетом (6.21), полная механическая энергия оказывается равной:

                            (6.32)

Теорема 6.10 об изменении полной механической энергии Изменение полной механической энергии равно работе непотенциальных сил:                             (6.33)

Доказательство: по Теореме 6.8 об изменении кинетической энергии (6.24):

                         (6.34)

Независимость работы потенциальных сил от формы траектории (6.28) и определение потенциальной энергии (6.20) позволяет преобразовать (6.34) к:        

               (6.35)

В последнем переходе (6.33) использовано верное только для потенциальных сил свойство работ А₀₂^(пот) = - А₀₂^(пот), обоснование которого выполните самостоятельно.

Перемещение в (6.35) в правую часть равенства слагаемых с потенциальными энергиями приводит к доказываемому соотношению (6.33).

Дифференцирование по времени равенства (6.33) приводит к дифференциальной формулировке теоремы о полной механической энергии:

                                               (6.36)

- скорость изменения механической энергии равна мощности непотенциальных сил.

Пример 6.4. Спутник в верхних слоях атмосферы Как изменяется скорость спутник, движущегося в верхних слоях атмосферы по почти круговой траектории из-за  действия слабых сил вязкого трения (рис. 6.3.б)?

Решение: Условие движения спутника по почти круговой орбите имеет вид:

Подстановка полученных соотношений в выражение (6.30) для полной механической энергии спутника вблизи гравитирующего центра дает:

                                                                            (6.37)

Полученное для полной механической энергии отрицательное значение свидетельствует о невозможности ухода спутника с орбиты на бесконечность. Энергия спутника слишком мала для ухода с орбиты на бесконечность, где полная энергия должна быть неотрицательной.

Работа и мощность сил вязкого трения, направленных против движения спутника, отрицательны:

                                        .

В соответствии с теоремой об изменении механической энергии последняя должна убывать, что, согласно (6.36), должно приводить к увеличению скорости спутника:                                    

                             .

Из-за трения об атмосферу спутник приближается к планете и уменьшения его потенциальной энергии оказывается достаточным не только для обеспечение разогрева из-за трения, но и для некоторого увеличения скорости движения. 

Определение 6.11 Механические системы, в которых действуют только потенциальные силы, называются потенциальными.

Теорема 6.11. Закон сохранения механической энергии В потенциальных системах механическая энергия точечного тела сохраняется во времени.

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из теоремы об изменении механической энергии и определения потенциальных систем.

Закон сохранения механической энергии в общем случае не выполняется для замкнутых систем, на которые не действуют внешние силы, где обеспечивается сохранение во времени полного импульса системы. В тех замкнутых системах, где действуют непотенциальные силы, механическая энергия может переходить в другие формы, например – во внутреннюю энергию. При этом сохраняется полная энергия системы. Полного выражения для сохраняющейся энергии современная физика не знает. На протяжении всей своей истории развития физика периодически открывала новые формы энергии.

Закон сохранения энергии связан с глобальной симметрией относительно сдвигов во времени.

Пример 6.5. Вторая космическая скорость Какую минимальную начальную скорость необходимо придать телу на поверхности шарообразной планеты массой М, для того, чтобы оно могло удалиться от планеты на бесконечно большое расстояние? Считать известным, что сферически однородное тело притягивают к себе расположенные вне его объема точечные тела точно так же, как бы притягивала эти тела размещенная в его центре материальные точки с массой, равной массе тела.

Решение: Поскольку в система действуют только центральные, а следовательно – потенциальные гравитационные силы, при решении задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. В случае традиционного выбора в качестве нулевой бесконечно удаленной точки ( U(∞) = 0 ), закон сохранения механической энергии брошенного с поверхности и остановившегося на бесконечности тела с учетом (6.21) и (6.32) принимает вид:

откуда получается выражение для второй космической скорости:

Вторая космическая скорость в корень из двух раз превосходит первую космическую скорость, необходимую для движения спутника по круговой орбите над самой поверхностью планеты. Расчет первой космической скорости выполните самостоятельно.

       В реальных ситуациях сообщение телу второй космической скорости на поверхности планеты не обеспечивает его удаления на бесконечно большое расстояние из-за наличия притяжения к звезде, спутником которой, как правило, является рассматриваемая планета. В результате в закон сохранения энергии приходится добавлять потенциальную энергию притяжения спутника к звезде и кинетическую энергию расположенного на поверхности планеты тела, связанную со скоростями орбитального движения планеты вокруг звезды и вращения планеты вокруг собственной оси.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Выясните, остается ли справедливой теорема об измерении кинетической энергии в случае движения тела с переменной массой.

2. Однородная кобра длиной L и массой M неподвижно лежит на весах. Вспомнив о своей змеиной сущности, кобра начинает равномерно вставать на хвост и переходит в вертикальное положение за время Т. Чему равен вес кобры на этом интервале времени?

3. Очень Хорошая Девочка сидит на неподвижных качелях с длиной подвеса L. Какую скорость нужно сообщить девочке для того, чтобы она сделала «солнышко» на качелях? Рассмотреть случае жесткого и веревочного подвесов качелей.

4. Не слишком опытный сноубордист (не умеющий поворачивать и тормозить) начинает скатываться (без начальной скорости) с высоты Н по имеющему постоянный наклон (угол α) склону, плавно переходящему в горизонтальный участок. На какое расстояние от склона отъедет сноубордист? Коэффициент трения борда о снег μ – известен.

5. Аттракцион представляет собой горку, заканчивающуюся «мертвой петлей» радиуса R, верхняя часть которой (дуга с угловой длиной 120°) – демонтирована. С какой высоты следует запустить первоначально покоившуюся тележку для того, чтобы она благополучно преодолела разрыв желоба и мягко (без удара) приземлилась после перелета разорванного участка? Какую перегрузку ощутят пассажиры в нижней точке траектории? Потери на трение отсутствуют.

6. Очень Невоспитанный Мальчик решил скатиться по поверхности очень скользкого купола сферической формы и стартовал с из состояния покоя с его верхней точки. В каком месте мальчик взлетит над куполом?

7. Железнодорожный состав, состоящий из локомотива массой M и n вагонов массой m каждый остановился на подъеме с углом наклона β. Приняв решения двигаться дальше, машинист, опасаясь скатывания состава вниз, разблокировал тормоза только у локомотива, а колесные пары всех вагонов оставил заторможенными. Какую мощность должен развивать двигатель локомотива для того, чтобы в описанном состоянии состав начал двигаться вверх с постоянным ускорением a? Коэффициент сухого трения между металлами, из которых изготовлены колеса и рельсы – μ.

Заключение

Вот и подошла к концу первая часть курса классической механики, посвященная методам описания и расчетов движения материальной точки.

В рамках изложенного материала практически не формулировались какие-либо принципиально новые физические идейи по сравнению с тем, что должно было быть озвучено в рамках элементарных курсов физики, изучавшихся Вами в средних учебных заведениях и что Вы должны были уже твердо знать, приступая к изучению материалов этой первой части курса механики для студентов. Однако, я вряд ли ошибусь с прогнозом того, что для значительной доли читателей изложенный здесь материал не показался слишком легким. Причина этого состояла в том, что изложение одного из самых простых разделов физики было более математизировано, чем к этому привыкли и чего ожидали вчерашние школьники. Теперь можно открыть маленький  секрет – в этом разделе Вы не столько изучали физику, сколько  знакомились со способами ее изложения на языке математики и учились не только понимать этот язык, но и активно им пользоваться.

Возможно, на первых этапах это вызывало трудности. Но для того трудности и существуют, чтобы их успешно преодолевать. Если Вы добрались до этой заключительной страницы, хочется надеяться, что победителями оказались Вы, а не математические значки и формулы, которые, поверьте, уже довольно скоро начнут Вам казаться весьма привлекательными, понятными и безальтернативными в случае сколько-нибудь серьезного разговора о физике. Если эти слова Вас не слишком удивили и не вызвали у Вас страха или ужаса, значит все хорошо. Значит Вы на правильном пути. Значит наступит время, когда Вам захочется перейти на следующий (четвертый) уровень сложности нашего многоуровневого учебника по физике.

Если же при изучении основ механики по этому пособию Вас постигла неудача и математический формализм и лаконичные замечания по физическому смыслу формул не были Вами осознана до конца, ну что же… Попробуйте заглянуть в материалы, представленные на втором или даже первом уровне сложности изложения. Возможно там Вы найдете то, что более соответствует Вашему уровню подготовки и менталитету.

Удачи и успехов всем, кто причитал эту страницу! До новых встреч!

                                                                                 А.С.Чирцов

Содержание

Лекция 1. Введение: основные принципы и понятия механики. 4

1.1. Основная задача механики. 5

1.2. Временное описание. 5

1.3. Пространственное описание. 6

1.4. Материальные точки. 7

1.5. Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки. 7

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 10

Лекция 2. Кинематика: основные понятия. 11

2.1. Радиус-вектор, перемещение и скорость. 11

2.2. Скорость и ускорение 15

2.3. Равноускоренное движение. 18

2.4. Классический закон сложения скоростей и ускорений. 22

2.5. Преобразования Галилея. 24

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. .24

Лекция 3. Кинематика криволинейного движения. 26

3.1. Скалярное произведение. Базис. 26

3.2. Путь, проходимый материальной точкой. 27

3.3. Векторное произведение. 29

3.4. Угловая скорость и угловое ускорение. 31

3.5. Связи между линейными и угловыми скоростями и ускорениями. 33

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 36

Лекция 4. Основы динамики материальной точки. 38

4.1. Законы Ньютона. 38

4.2. Импульсная формулировка второго закона Ньютона. 43

4.3. Второй закон Ньютона как уравнение движения. 44

4.4. Фундаментальные силы.. 45

4.5. Основные силы, учитываемые в рамках решения задач классической механики. 46

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 53

Лекция 5. Движение под действием сил, зависящих
от положения и скорости тела, в простейших случаях. 55

5.1. Случай силы, явно зависящей от времени. 55

5.2. Двтжение тела в вязкой среде. 56

5.3. Одномерное движение под действием силы, зависящей только от координаты.. 58

5.4. Движения, описываемые линейным дифференциальным уравнением
с постоянными коэффициентами. 59

5.5. Движение, описываемое нелинейным дифференциальным
уравнением (реальный маятник) 65

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 67

Лекция 6. Законы сохранения в динамике материальной точки. 67

7.1. Закон сохранения импульса. 67

7.2. Закон сохранения момента импульса. 69

7.3. Механическая работа. 73

7.4. Теорема об изменении кинетической энергии. 76

7.5. Потенциальная и механическая энергии, закон сохранения энергии. 77

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 82

Заключение. 84

Чирцов А С         

2020-02-03

366

Обсуждений (0)

Теорема  об изменении кинетической энергии 0.00 из 5.00 0 оценок

Скачать документ