Распространение тепла в ограниченном стержне
Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что , где ось направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды. В начальный момент времени задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое функцией . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности , , (1.15) при граничных условиях , (1.16) и при начальном условии , (1.17) где – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (1.16) Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем: 1.Ищем частные решения уравнения (1.15) в виде . (1.18) 2. Подставляя (18) в (15) получаем уравнение . Разделив обе части полученного уравнения на из (1.18), имеем . (1.19) Постоянная , называемая постоянной разделения, появилась в (1.19) из следующих соображений: левая часть в (1.19) зависит только от переменной , правая – только от переменной , и эти части должны быть равны при всех значениях и . Поэтому оба отношения в (1.19) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (1.19) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций и : (1.20) (1.21) 3. По условию задачи функция должна удовлетворять краевым условиям вида (1.16). Из (1.18) и (1.16) получаем условия для функции , . Таким образом, для функции получили задачу: требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой задачи
, , (1.20’) а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (1.20), (1.20’). Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим ненулевые решения – собственными функциями. Найдем собственные числа краевой задачи (1.20), (1.20’). Рассмотрим возможности:
Пусть . Тогда общим решением уравнения (1.20) будет являться функция . При и , имеем , , Следовательно, , поэтому и начальное условие (1.17) не будет выполняться. Пусть . Тогда общее решение уравнения (1.20) имеет вид . При и , имеем , систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому , . И в этом случае условие (1.17) не удовлетворено. Рассмотрим случай . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (1.20), равны , т.е. мнимые числа. Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.20) имеет вид . (1.22) При получаем . При имеем , , , (1.23) где . Подставляя (1.23) в (1.22), получаем . (1.24) Входящие в формулу (1.24) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от . Формула (1.23) определяет собственные числа, а формула (1.24) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам. 4. Подставляя в уравнение (1.21) вместо собственное значение для определения функции , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение (1.25) Общее решение ура внения (6.25) имеет вид , (1.26) где - произвольные постоянные. Итак, все функции (1.27) удовлетворяют уравнению теплопроводности (15) и граничным условиям (1.16) при любых значениях и любых постоянных . Но начальному условию (1.17) функции (1.27) в общем случае не удовлетворяют. 5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (1.17). Для этого, учитывая (1.27), составим ряд . (1.28) Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (1.15) и краевым условиям (1.16). Предположим, что функция разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (1.28) , получим . (1.29) Написанный ряд представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты находятся по формуле . (1.30) Предполагая, что непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при и , получаем, что ряд (1.29) с коэффициентами (1.30) равномерно и абсолютно сходится к (это известно из теории тригонометрических рядов). Поскольку при справедливы неравенства , то ряд (1.28) при также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция (1.28) непрерывна при , и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция удовлетворяет уравнению (1.15) и имеет непрерывные производные по и первого и второго порядков соответственно.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (693)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |